Polígonos (resumen)

Polígono

Un polígono es la región del plano limitada por 3 o más segmentos.

Elementos de un polígono

Los elementos que encontraremos en un polígono son:

  • Lados: son los segmentos que lo limitan.
  • Vértices: son los puntos donde concurren 2 lados.
  • Ángulos interiores de un polígono: son los determinados por 2 lados consecutivos. Para determinar la suma de ángulos interiores de un polígono, si n es el número de lados de un polígono, la fórmula es: (n – 2) : 180º
  • Diagonal: son los segmentos que determinan 2 vértices no consecutivos. Para calcular el número de diagonales , si n es el número de lados, la fórmula es: n * (n-3) : 2.

Clasificación de los polígonos

1. Según sus lados

Según sus lados los polígonos pueden ser:

  • Triángulos: 3 lados.
  • Cuadriláteros: 4 lados.
  • Pentágonos: 5 lados.
  • Hexágonos: 6 lados.
  • Heptágonos: 7 lados.
  • Octágonos: 8 lados.
  • Eneágonos: 9 lados.
  • Decágonos: 10 lados.
  • Endecágonos: 11 lados.
  • Dodecágonos: 12 lados.
  • Tridecágonos: 13 lados.
  • Tetradecágonos: 14 lados.
  • Pentadecágonos: 15 lados.
  • Hexadecágonos: 16 lados.
  • Heptadecágonos: 17 lados.
  • Octadecágonos: 18 lados.
  • Eneadecágonos: 19 lados.
  • Isocágonos: 20 lados.

2. Según su ángulos

  • Convexos: todos sus ángulos son menores que 180º, todas sus diagonales son interiores.
  • Cóncavos: si un ángulo mide más de 180º, si alguna de sus diagonales es exterior.

Polígonos regulares

Un polígono regular es el que tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales.

Elementos de un polígono regular

Elementos de un polígono regular

  • Centro: punto interior que equidista de cada vértice.
  • Radio: es el segmento que va del centro a cada vértice.
  • Apotema: Distancia del centro al punto medio de un lado.
  • Ángulo central: es el formado por 2 radios consecutivos.

Si n es el número de lados de un polígono.

  • Ángulo central: 360º : n
  • Ángulo interior: (n-2)*180º : n
  • Ángulo exterior = Ángulo central

Polígonos inscritos

Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos su vértices están contenidos en ella.

1. Circunferencia circunscrita

Circunferencia circunscrita

Una circunferencia circunscrita es la que toca a cada vértice del poligono. Su centro equidista de todos los vértices. Su radio es el radio del polígono.

2. Circunferencia inscrita

Circunferencia inscrita

Una circunferencia inscrita es la que toca al polígono en el punto medio de cada lado. Su centro equidista de todos los lados. Su radio es la apotema del polígono.

Triángulos

Un triángulo es un polígono con 3 lados.

  • Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros 2, y mayor que su diferencia.
  • La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.
  • El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los 2 interiores no adyacentes.

Tipos de triángulos

1. Según sus lados

  • Triángulo equilátero: es el que tiene los 3 lados iguales.
  • Triángulo isósceles: es el que tiene 2 lados iguales.
  • Triángulo escaleno: es el que tiene 3 lados desiguales.

2. Según sus ángulos

  • Triángulo acutángulo: es el que tiene 3 ángulos agudos.
  • Triángulo rectángulo: es el que tiene un ángulo recto, su lado mayor es la hipotenusa y los lados menores son los catetos.
  • Triángulo obtusángulo: es el que tiene un ángulo obtuso.

Mediana, baricentro

Alturas de un triángulo

Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Ortocentro

El ortocentro es el punto de corte de las 3 alturas

Ortocentro

Medianas de un triángulo

Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Baricentro

Baricentro

El baricentro es el punto de corte de las 3 medianas. El baricentro divide a cada mediana en 2 segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une el baricentro con el punto medio del lado opuesto.

BG = 2GA

Mediatrices de un triángulo

Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

Circuncentro

Circuncentro

El circuncentro es el punto de corte de las 3 mediatrices, es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectrices de un triángulo

Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

Incentro

Incentro

Incentro es el punto de corte de las 3 bisectrices. Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Recta de Euler

Recta de Euler

El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados, es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.

Cuadriláteros

Los cuadriláteros son polígonos de 4 lados. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360º.

Clasificación de los cuadriláteros

1. Paralelogramos

Paralelogramos son aquellos cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican en:

  • Cuadrado: tiene los 4 ángulos iguales y los 4 ángulos rectos.
  • Rectángulo: tiene lados iguales 2 a 2 y los 4 ángulos rectos.
  • Rombo: tiene los 4 lados iguales.
  • Romboide: tiene lados iguales 2 a 2.

2. Trapecios

Los trapecios son cuadriláteros que tienen 2 lados paralelos, llamados base mayor y base menor, se clasifican en:

  • Trapecio rectángulo: es el que tiene un ángulo recto.
  • Trapecio isósceles: es el que tiene 2 lados no paralelos iguales.
  • Trapecio escaleno: no tiene ningún ángulo igual ni ángulo recto.
  • Trapezoides: son cuadriláteros que no tienen ningún lado igual ni paralelo.