Teorema del cateto, de la altura y de Pitágoras

Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

Teorema del cateto

  • a: hipotenusa
  • b y c: catetos
  • m: proyección del cateto b sobre la hipotenusa
  • n: proyección del cateto c sobre la hipotenusa
a/b = b/m --- b2 = a*m
a/c = b/n --- c2 = a*n

Ejm

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm, y la proyección de un cateto sobre ella 10.8. Hallar el otro cateto.

Ejm teorema del cateto

c/30 = 10.8/c --- c2 = 30*10.8
c = √30*10.8 = 18 cm

Teorema de la altura

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.

Teorema de la altura

m/h = h/n --- h2 = m*n

Ejm

En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa se miden 4 y 9 cm. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

Ejm teorema de la altura

9/h = h/4 --- h2 = 36
h = √36 = 6 cm

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Teorema de Pitágoras

a2 = b2 + c2

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

1. Conociendo los catetos calcular la hipotenusa

a2 = b2 + c2 --- a = √b2 + c2

Ejm

Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

Ejm teorema de Pitágoras

a2 = 32 + 42 --- a = √32 + 42 = 5 m

2. Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

a2 = b2 + c2
c = √a2 - b2
b = √a2 - c2

Ejm

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus cateto 3 m, ¿cuánto mide el otro cateto?

Ejm2 teorema de Pitágoras

52 = 32 + c2 --- c = √52 - 32 = 4 m

3. Conociendo sus lados averiguar si es rectángulo

Para que sea rectángulo, el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.

Ejm

Determinar si el triángulo es rectángulo

Ejm3 teorema de Pitágoras

52 = 32 + 42 --- 25 = 25

Se trata de un triángulo rectángulo.

4. Diagonal del cuadrado

Diagonal del cuadrado

d2 = I2 + I2
d = √I2 + I2
d = √2I2 = I√2

5. Diagonal del rectángulo

Diagonal del rectángulo

d2 = b2 + h2
d = √b2 + h2

6. Lado oblicuo del trapecio rectángulo

Lado oblicuo del trapecio rectángulo

n = B - b
I = √n2 + h2

7. Altura del trapecio isósceles

Altura del trapecio isósceles

n = B-b/2
h = √I2 - n2

8. Altura del triángulo equilátero

Altura del triángulo equilátero

I2 = n2 + (I/2)2 --- I2 = h2 + I2/4
h = √I2 - I2/4 --- h = √3I2/4
h = √3/2*I

9. Apotema de un polígono regular

Apotema de un polígono regular

a = √r2 - (I/2)2

10. Apotema del hexágono inscrito

Apotema del hexágono inscrito

I = r
a = √I2 + (I/2)2

11. Lado de un triángulo equilátero inscrito

Lado de un triángulo equilátero inscrito

r2 = (I/2)2 + (r/2)2 ->
(I/2)2 = r2 - r2/4 ->
I/2 = √2*r2/4 ->
I/2 = √3/2*r ->
I = √3 * r

12. Lado de un cuadrado inscrito

Lado de un cuadrado inscrito

I = √r2 + r2