Vectores

Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Vector

Elementos de un vector

Los elementos que forman un vector son los siguientes:

  • Dirección de un vector: la dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector, o de cualquier recta paralela a ella.
  • Sentido de un vector: el sentido del vector AB es el que va del origen A al extremo B.
  • Módulo de un vector: el módulo de un vector AB es la longitud del segmento AB, se representa |AB|, dicho módulo es siempre positivo o cero.

Módulo de un vector a partir de sus componentes

Sea el vector u = (u1, u2)

El módulo sería:

|u| = √u12 + u22

Ejm

u = (3, 4)
|u| = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5

Módulo a partir de las coordenadas de los puntos

Sean los vectores

  • A (x1, y1)
  • B (x2, y2)

El módulo sería:

|AB| = √(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

Ejm

Sean los vectores

  • A (2, 1)
  • B (-3, 2)

Calculamos el módulo

|AB|= √(-3-2)2 + (2-1)2 = √26

Coordenadas de un vector

Coordenadas de un vector

Si las coordenadas de los puntos extremos A y B son:

  • A (x1, y1)
  • B (x2 , y2)

Las coordenadas del vector AB son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

AB = (x2-x1, y2-y1)

Ejm

  • A (2, 2)
  • B (5, 7)
  • AB = (5-2, 7-2) = (3, 5)

Clases de vectores

1. Vectores equipolentes

2 vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

Vectores equipolentes

2. Vectores libres

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se denomina vector libre. Cada vector fijo es un representante del vector libre.

Vectores libres

3. Vectores fijos

Un vector fijo es un representante del vector libre, es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen.

Vectores fijos

4. Vectores ligados

Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta, es decir, los vectores ligados tienen el mismo módulo, dirección y sentido y se encuentran en la misma recta.

Vectores ligados

5. Vectores opuestos

Los vectores opuestos tienen el mismo módulo y dirección, y sentido contrario.

Vectores opuestos

  • u = (u1, u2)
  • -u = (-u1, -u2)

6. Vectores unitarios

Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad. Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, se divide éste por su módulo.

Vectores unitarios

U = v / |v|

7. Vectores concurrentes

Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.

Vectores concurrentes

8. Vectores de posición

El vector OP que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto R.

Vectores de posición

9. Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Vectores linealmente dependientes

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0

10. Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.

Vectores linealmente independientes

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0
a1 = a2 = ... = an = 0

11. Vectores ortogonales

2 vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.

Vectores ortogonales

u * v = 0
u1v1 + u2v2 = 0

12. Vectores ortonormales

2 vectores son ortonormales si:

  • Su producto escalar es cero.
  • Los 2 vectores son unitarios

Vectores ortonormales