Vectores linealmente dependientes e independientes

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

a1v1 + a2v1 + ... + anvn = 0

Propiedades

a) Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0
v1 = (a2/a1)*v2 - (a3/a1)v3

También se cumple el recíproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

b) 2 vectores en el plano son linealmente dependientes si y sólo si son paralelos.

c) 2 vectores libres del plano u = (u1, u2) y v = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

u = kv
(u1, u2) = k(v1, v2)
k = u1/v1 = u2/v2

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0
a1 = a2 = ... = an = 0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección, y sus componentes no son proporcionales.

Ejm

Determinar si son linealmente dependientes o independientes los vectores:

  • u = (3, 1)
  • v = (2, 3)
3/2 = 1/3 --- 3*3 ≠ 2*1