Resumen de vectores y producto escalar

  • Un vector fijo AB es un segmento orientado que va desde el punto A (origen) al punto B (extremo).
  • Un vector fijo es nulo cuando su origen y extremo coinciden.
  • El módulo del vector AB es la longitud del segmento AB. Se representa |AB|.
  • Dirección de un vector: la dirección de un vector es la dirección de la recta que contiene al vector, o de cualquier recta paralela a ella.
  • Sentido de un vector: el sentido del vector AB es el que va desde el origen A al extremo B.

Clasificación de vectores

  • Vectores equipolentes: 2 vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.
  • Vectores libres: el conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector fijo es un representante del vector libre.

Coordenadas de un vector

Vector posición de un punto en el plano de coordenadas

el vector OP que une el origen de coordenadas 0 con un punto P se llama vector de posición del punto P.

Coordenadas o componentes de un vector en el plano

Si las coordenadas de A y B son:

  • A(x1, y1)
  • B(x2, y2)

Las coordenadas o componentes del vector AB son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

AB = (x2-x1, y2-y1)

Módulo de un vector

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es un número siempre positivo, y sólamente el vector nulo tiene módulo cero.

Cálculo del módulo conociendo sus componentes

u = (u1, u2)
|u| = √u12 + u22

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

A(x1, y1)
B(x2, y2)

|AB| = √(x2-x1)2 + (y2-y1)2

Distancia entre 2 puntos

u = v / |v|

Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.

Operaciones de vectores

1. Suma de vectores

Para sumar 2 vectores libres u y v se escogen como representantes 2 vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

Suma de vectores

Regla del paralelogramo

Se toman como representantes 2 vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores, obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar 2 vectores se suman sus respectivas componentes.

  • u = (u1, u2)
  • v = (v1, v2)
  • u+v = (u1+v1, u2+v2)

2. Resta de vectores

Para restar 2 vectores libres u y v se suma u con el opuesto de v. Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

  • u = (u1, u2)
  • v = (v1, v2)
  • u-v = (u1-v1, u2-v2)

3. Producto de un número por un vector

El producto de un número k por un vector u es otro vector

  • De igual dirección que el vector u.
  • Del mismo sentido que el vector u si k es positivo.
  • De sentido contrario del vector u si k es negativo.
  • De módulo |k||u|.

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por k las componentes del vector.

u = (u1, u2)
k*(u1, u2) = (k*u1, k*u2)

Combinación lineal de vectores

Dados 2 vectores u y v, y 2 números a y b, el vector au+bv se dice que es una combinación lineal de u y v.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros 2 que tengan distinta dirección.

w = 2u+3v

Esta combinación lineal es única.

Base

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros 2 que tengan distinta dirección.

Base

w = 2u+3v

Esta combinación lineal es única.

Sistema de referencia

En el plano, un sistema de referencia está constituido por un punto 0 del plano y una base (u, v).

  • El punto 0 del sistema de referencia se llama origen.
  • Los vectores u y v no paralelos forman la base.

Base ortogonal

Los vectores base son perpendiculares, pero de distinto módulo.

Base ortonormal

Los vectores base son perpendiculares y unitarios, es decir, de módulo 1. Se representan con las letras i, j.

  • i = 1i + 0j — i = (1, 0)
  • j = 0i + 1j — j = (0, 1)

Las rectas 0X, 0Y se llaman ejes de coordenadas o ejes coordenados cartesianos.

Coordenadas del punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos.

Coordenadas del punto medio de un segmento

  • xM = x1+x2 / 2
  • yM = y1+y2 / 2

Condición para que 3 puntos estén alineados

Los puntos A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre que los vectores AB y BC tengan la misma dirección. Ésto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales.

Condición para que 3 puntos estén alineados

x2-x1 / x3-x2 = y2-y1 / y3-y2

Simétrico de un punto respecto de otro

Si A’ es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA’, por lo que se verificará la igualdad.

Simétrico de un punto respecto de otro

AM = MA

Coordenadas del baricentro

Baricentro o centro de gravedad de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas.

Coordenadas del baricentro

Las coordenadas del baricentro son:

G(x1+x2+x3 / 3, y1+y2+y3 / 3)

División de un segmento en una relación dada

Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las 2 partes, PA y PB están en la relación r.

PA / PB = r

Producto escalar

El producto escalar de 2 vectores es un número real que resulta de multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

1. Expresión analítica del producto escalar

Es la siguiente:

u*v = u1v1 + u2v2

2. Expresión analítica del módulo de un vector

Es la siguiente:

|u| = √u*u = √u1u1 + u2u2 = √u12 + u22

3. Expresión analítica del ángulo de 2 vectores

cosα = u1v1 + u2v2 / √u12+u22 * √v12+v22

4. Expresión analítica de la ortogonalidad de 2 vectores

Proyección

El producto de 2 vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Proyección

cosα = OA' / |u| --- OA' = |u|*cosα
u*v = |v| * OA' --- OA' = u*v / |u|

Propiedades del producto escalar

  • Conmutativa: u*v = v*u
  • Asociativa: k*(u*v) = (k*u)*v
  • Distributiva: u*(v+w) = u*v + u*w
  • El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo. u≠0 -> u*u > 0