Producto escalar

El producto escalar de 2 vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

u*v = |u||v|cosα

Ejm

Calcular el producto escalar de los vectores

  • u = (3, 0)
  • v = (5, 5)
  • El ángulo que forman es 45º
u*v = √32 + 02 * √52 + 52 * cos45 = 
3*5*√2*√2/2 = 15

Expresión analítica del producto escalar

u*v = u1v1 + u2v2

Ejm

Calcular el producto escalar de los siguientes vectores

  • u = (3, 0)
  • v = (5, 5)
u*v = 3*5 + 0*5 = 15

Expresión analítica del módulo de un vector

|u| = √u*u = √u1*u1 + u2*u2 = √u12 + u22

Ejm

  • u = (3, 0)
  • v = (5, 5)
|u| = √u*u = √3*3 + 0*0 = 3
|v| = √v*v = √5*5 + 5*5 = 5√2

Expresión analítica del ángulo de 2 vectores

cosα = u1v1 + u2v2 / √u12 + u22 * √v12 + v22

Ejm

  • u = (3, 0)
  • v = (5, 5)
cosα = 3*5 + 0*5 / 32 + 02 * 52 + 52 = 2/2
α = 45º

Condición analítica de la ortogonalidad de 2 vectores

2 vectores son ortogonales si su producto escalar es 0, es decir:

u*v = 0 --- u1v1 + u2v2 = 0

Ejm

  • u = (3, 0)
  • v = (5, 5)
u*v = 3*5 + 0*5 ≠ 0
Por lo tanto no son perpendiculares

Interpretación geométrica del producto escalar

El producto escalar de 2 vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Interpretación geométrica del producto escalar

  • cosα = OA’ / |u| — OA’ = |u|*cosα
  • u*v = |v|*OA’OA’ = u*v / |v|

Ejm

Hallar la proyección del vector u = (2, 1) sobre el vector v = (-3, 4).

P(u,v) = 2*(-3) + 1*4 / √(-3)2 + 42 = -2/5

Propiedades del producto escalar

A) Conmutativa

u*v = v*u

B) Asociativa

k*(u*v) = (k*u)*v

C) Distributiva

u*(v+w) = u*v + u*w

D) El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

u ≠ 0 -> u*u > 0