Aplicaciones de vectores

Coordenadas del punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos.

  • xM = x1 + x2 / 2
  • yM = y1 + y2 / 2

Ejm

Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB.

A(3, 9)
B(-1, 5)

xM = 3 - 1 / 2 = 1
yM = 9 - 5 / 2 = 2
M(1, 7)

Condición para  que 3 puntos estén alineados

Los puntos A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre que los vectores AB y BC tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales.

3 puntos alineados

x2 – x1 / x3 – x2 = y2 – y1 / y3 – y2

Ejm

Calcular el valor de a para que los puntos estén alineados.

  • A(2, 1)
  • B(4, 2)
  • C(6, a)
4-2 / 2-1 = 6-4 / a-2 --- a = 3

Simétrico de un punto respecto de otro

Si A’ es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA’. Por lo que ser verificará igualdad.

AM = MA’

Simétrico de un punto respecto de otro

Ejm

Hallar el simétrico del punto A(7, 4) respecto de M(3, -11)

AM = MA'
(-4, -15) = (x-3, y+11)
x-3 = -4 --- x = -1
y+11 = -15 --- y = -26
A'(-1, -26)

Coordenadas del baricentro

Baricentro o centro de gravedad de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas.

Las coordenadas del baricentro son:

G = (x1+x2+x3 / 3, y1+y2+y3 / 3)

Ejm

Dados los vértices de un triángulo A(-3, -2), B(7, 1) y C(2, 7), hallar las coordenadas del baricentro.

xG = -3+7+2 / 3 = 2
yG = -2+1+7 / 3 = 2
G(2, 2)

División de un segmento en una relación dada

Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene el segmento AB, de modo que las 2 partes, PA y PB, están en la relación r.

PA / PB = r

Ejm

¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en 3 partes iguales?.

AP = 1/3AB
(xp+1, yp+3) = 1/3(6, 9)
xp+1 = 2 --- xp = 1
yp+3 = 3 --- yp = 0
P(1, 0)

AQ = 2AP
(xq+1, yq+3) = 2(2, 3)
xq+1 = 4 --- xq = 3
yq+3 = 6 --- yq = 3
Q(3, 3)