Vectores en el espacio

Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes x e y.

Cada punto viene determinado por 3 coordenadas p(x,y,z).

Los ejes de coordenadas determinan 3 planos coordenados, xy, xz e yz. Estos planos coordenados dividen al espacio en 8 regiones denominadas octantes, en el primer octante, las 3 coordenadas son positivas.

Sistema de coordenadas tridimensional

Vector en el espacio

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

Vector en el espacio

Componentes de un vector en el espacio

Si las coordenadas de A y B son A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2), las coordenadas o componentes del vector AB son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

AB = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)

Ejm

Determinar las componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de vértices A(-3,4,0), B(3,6,3) y C(-1,2,1)

AB = (3-(-3),6-4,3-0) = (6,2,3) -> BA(-6,-2,-3)
BC = (-1-3,2-6,1-3) = (-4,-4,-2) -> CB(4,4,2)
CA = (-3-(-1),4-2,0-1) = (-2,2,-1) -> CA(2,-2,1)

Módulo de un vector

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es un número siempre positivo, y sólamente el vector nulo tiene módulo cero.

Cálculo del módulo conociendo sus componentes

Sea el vector u = (u1, u2, u3)

El módulo es:

|u| = √u12+u22+u32

Ejm

Dados los vectores

  • u = (3,1,-1)
  • v = (2,3,4)

Hallar sus módulos:

|u| = √32+12+(-1)2 = √9+1+1 = √11
|v| = √22+32+42 = √4+9+16 = √29

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

Sean las coordenadas

  • A(x1,y1,z1)
  • B(x2,y2,z2)

Su módulo se calcula:

|AB| = √(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2

Distancia entre 2 puntos

La distancia entre 2 puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos. Es decir:

d(A,B) = |AB| = √(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2

Vector unitario

Un vector unitario tiene de módulo la unidad.

La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.