Producto vectorial

El producto vectorial de 2 vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los vectores, y su sentido sería el del avance de un sacacorchos al girar de u a v.

Su módulo es igual a:

|uxv| = |u||v|senα

El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

Producto vectorial

Producto vectorial (figura)

Ejm

Calcular el producto vectorial de los vectores u = (1,2,3) y v = (-1,1,2).

Producto vectorial (ejercicio 1)

Producto vectorial (ejercicio 1) 2

Producto vectorial (ejercicio 1) 3

El producto vectorial uxv es ortogonal a los vectores u y v.

Área del paralelogramo

Geométricamente, el módulo del producto vectorial de 2 vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

A = |u|*h = |u||v|senα = |uxv|

Área del paralelogramo

Ejm

Dados los vectores

  • u = (3,1,-1)
  • v = (2,3,4)

hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores u y v.

Área del paralelogramo (Ejercicio 1)

Área del paralelogramo (Ejercicio 1) 2

Área de un triángulo

La diagonal de un paralelogramo lo divide en 2 triángulos iguales, por tanto el área del triángulo será la mitad del área del paralelogramo.

Ejm

Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1,1,3), B(2,-1,5) y C(-3,3,1).

AB = (1,-2,2)
AC = (-4,2,-2)

Área de un tríangujo (Ejercicio 1)

Área de un tríangujo (Ejercicio 1) 2

w = (0,-6,-6)
|w| = √02-62-62 = √72 = 6√2
A = 1/2*6√2 = 3√2u2

Propiedades del producto vectorial

1. Anticonmutativa

uxv = -vxu

2. Homogénea

λ(uxv) = (λu)xv = ux(λv)

3. Distributiva

ux(v+w) = (uxv)+(uxw)

4. El producto vectorial de 2 vectores paralelos es igual al vector nulo

u || v -> uxv =0

5. El producto vectorial uxv es perpendicular a u y a v