Producto mixto

El producto mixto de los vectores u*v y w es igual al producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos.

El producto mixto se representa por [u,v,w] [u,v,w] = u*(vxw)

El producto mixto de tres vectores es igual al determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos vectores respecto a una base ortonormal.

Producto mixto

Ejm

Calcular el producto mixto de los vectores

  • u = (2,1,-3)
  • v = (0,2,-5)
  • w = (1,-1,-2)

Producto mixto (Ejm 1)

Producto mixto (Ejm 1) 2

Volumen del paralelepípedo

El valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son 3 vectores que concurren en un mismo vértice.

Ejm

Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores

  • u = (3,-2,5)
  • v = (2,2,-1)
  • w = (-4,3,2)

Volumen del paralelepípedo (Ejm)

Volumen de un tetraedro

El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto.

Volumen del tetraedro

Ejm

Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos

  • A(3,2,1)
  • B(1,2,4)
  • C(4,0,3)
  • D(1,1,7)
AB = (1-3,2-2,4-1) = (-2,0,3)
AC = (4-3,0-2,3-1) = (1,-2,2)
AD = (1-3,1-2,7-1) = (-2,-1,6)

V = 1/6[u,v,w]

Volumen del tetraedro (Ejm)

V = 1/6*5 = 5/6u3

Propiedades del producto mixto

A) El producto mixto no varía si se permutan circularmente sus factores, pero cambia de signo si éstos se trasponen.

[u,v,w] = [v,w,u] = [w,u,v] [u,v,w] = -[v,u,w] = -[u,w,v] = -[w,v,u]

B) Si 3 vectores son linealmente dependientes, es decir, si son coplanarios, el producto mixto vale cero.