Producto escalar

El producto escalar de 2 vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

u*v = |u||v|cosα

Expresión analítica del producto escalar

u*v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Ejm

Hallar el producto escalar de 2 vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1,1/2,3) y (4,-4,1).

(1,1/2,3)*(4,-4,1) = 1*4 + 1/2*(-4) + 3*1 = 5

Expresión analítica del módulo de un vector

|u| = √u*u = √u1*u1 + u2*u2 + u3*u3 = √u12 + u22 + u32

Ejm

Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas u = (-3,2,5) en una base ortonormal.

|u| = √-32 + 22 + 52 = √38

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

cosα = u1v1 + u2v2 + u3v3 / √u12+u22+u32 * √v12+v22+v32

Ejm

Determinar el ángulo que forman los vectores u = (1,2,-3) y v = (-2,4,1)

cosα = (1*(-2))+(2*4)+((-3)*1) / √12+22-32 * √-22+42+12 
= -2+8-3 / √14 * √21 = 3 / 7√6

Vectores ortogonales

2 vectores son ortogonales si su producto escalar es cero.

u*v = u1v1 + u2v2 + u3v3 = 0

Ejm

Calcular los vectores x e y para que el vector (x,y,1) sea ortogonal a los vectores (3,2,0) y (2,1,-1).

(x,y,1)⊥(3,2,0) -> 3x+2y = 0
(x,y,1)⊥(2,1,-1) -> 2x+y-z = 0

x=2 e y=-3

Propiedades del producto escalar

1. Conmutativa

u*v = v*u

2. Asociativa

k*(u*v) = (k*u)*v

3. Distributiva

u*(v+w) = u*v + u*w

4. El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

u ≠ 0 -> u*u > 0

Interpretación geométrica del producto escalar

El producto de 2 vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Interpretación geométrica del producto escalar

cosα = OA’/|u| -> OA’ = |u|cosα

u*v = |v|*OA’ -> OA’ = u*v/|v|

OA’ es la proyección del vector u sobre v, que lo denotamos como Proyvu, por lo tanto:

Proyvu = u*v/|v|

Ejm

Dados los vectores

  • u = (2,-3,5)
  • v = (6,-1,0)

Hallar:

a) Los módulos de u y v

|u| = √22-32+52 = √4+9+25 = √38
|v| = √62-12 = √36+1 = √37

b) El producto escalar de u * v

u*v = (2,-3,5)*(6,-1,0) = (2*6)+((-3)(-1)) = 15

c) El ángulo que forman

cos(u,v) = 15/√38*√37 = 0.4
(u,v) = arc cos 0.4 =66.42º

d) La proyección del vector u sobre v

Proyuv = u*v/|v| = 15/√37

e) La proyección del vector v sobre u

Proyvu = v*u/|u| = 15/√38

f) El valor de m para que los vectores u = (2,-3,5) y (m,2,3) sean ortogonales.

u⊥v -> u*v = 0
(2,-3,5)*(m,2,3) = 0
2m-6+15 = 0
2m = -9
m = -9/2

Cosenos directores

En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector u = (x,y,z) a los cosenos de los ángulos que forman el vector u con los vectores de la base:

  • cosα = x/√x2+y2+z2
  • cosβ = y/√x2+y2+z2
  • cosγ = z/√x2+y2+z2

cos2α+cos2β+cos2γ = 1

Ejm

Determinar los cosenos directores del vector (1,2,-3)

cosα = 1/√12+22-32 = 1/√1+4+9 = 1/√14
cosβ = 2/√12+22-32 = 2/√1+4+9 = 2/√14
cosγ = -3/√12+22-32 = -3/√1+4+9 = -3/√14

(1/√14)2 + (2/√14)2 + (-3/√14)2 = 1
1/14 + 4/14 + 9/14 = 1