Operaciones de vectores en el espacio

Suma de vectores

Para sumar 2 o más vectores, se suman sus respectivas componentes:

Sean los vectores

  • u = (u1.u2.u3)
  • v = (v1,v2,v3)

Su suma es:

u+v = (u1+v1, u2+v2, u3+v3)

Ejm 1

Dados

  • u = (2,1,3)
  • v = (1,-1,0)
  • w = (1,2,3)

hallar el vector x = 2u+3v-w

x = 2(2,1,3) + 3(1,-1,0) - (1,2,3) =
(4,2,6)+(3,-3,0)-(1,2,3) = 
(6,-3,3)

Ejm 2

Dados los vectores

  • u = (2,4,5)
  • v = (3,1,2)

Hallar el módulo del vector u-v

u-v = (2,4,5)-(3,1,2) = (-1,3,3)
|u-v| = √-12+32+32 = √19

Propiedades de la suma de vectores

1. Asociativa

u+(v+w) = (u+v)+w

2. Conmutativa

u+v = v+u

3. Elemento neutro

u+0 = u

4. Elemento opuesto

u+(-u) = 0

Producto de un número real por un vector

El producto de un número real k ∈ R por un vector u es otro vector:

  • De igual dirección que el vector u.
  • Del mismo sentido que el vector u si k es positivo.
  • De sentido contrario al vector u si k es negativo.
  • De módulo |k|*|u|
  • Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por k las componentes del vector u.
k*u = (k*u1,k*u2,k*u3)

Propiedades del producto de un número por un vector

1. Asociativa

k*(k'*u) = (k*k')*u

2. Distributiva respecto a la suma de vectores

k*(u+v) = (k*u)+(k*v)

3. Distributiva respecto a los escalares

(k+k')*u = k*u + k'*u

4. Elemento neutro

1*u = u