Dependencia e independencia lineal. Bases

Combinación lineal

Una combinación lineal de 2 o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

v = a1v1 + a2v2 + a3v3... + anvn

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

w = 2u + 3v

Esta combinación lineal es única.

Combinación lineal

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos, que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

a1v1 + a2v2 + ... +anvn = 0

Propiedades

A) Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0
v1 = -(a2/a1)v2 -(a3/a1)v3

También se cumple el recíproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

B) 2 vectores del plano son son linealmente dependientes si y sólo si son paralelos.

C) 2 vectores libres del plano u = (u1,u2) y v = (v1,v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

u = kv -> (u1,u2,u3) = (kv1, kv2,kv3)

u1/v1 = u2/v2 = u3/v3 = k

Vectores linealmente dependientes

Ejm

Deteminar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores:

  • u = (3,k,-6)
  • v = (-2,1,k+3)
  • w = (1,k+2,4)

siendo k el valor calculado.

Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz
que forman es nulo, es decir, el rango de la matriz es menor que 3.

Vectores linealmente dependientes (ejm)

12+k2+3k+12k+24 - (-6-8k+3k2+15k+18) = 0
k2-4k-12 = 0
k=-2 y k=6

(3,-2,-6) = a(-2,1,1)+b(1,0,4)
(3,-2,-6) = (-2a+b,a,a+4b)

3 = -2a+b
-2 = a
-6 = a+4b

a=-2 y b=-1

u = -2v-w

Vectores linealmente independientes

 Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.
a1v1+a2v2+...+anvn = 0
a1 = a2 = ... = an = 0
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección, y sus componentes no son proporcionales.
Vectores linealmente independientes
Ejm
Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores:
  • u = (2,3,1)
  • v = (1,0,1)
  • w = (0,3,-1)
a(2,3,1) + b(1,0,1) + c(0,3,-1) = (0,0,0)

2a+b = 0
3a+3c = 0
a+b-c = 0

Vectores linealmente independientes Ejm

r=2 y n=3 -> El sistema es compatible indeterminado (tiene
infinitas soluciones), lo que significa que los vectores 
son linealmente dependientes.

Base

3 vectores u, v y w con distinta dirección forman una base porque cualquier vector del espacio se puede poner como combinación lineal de ellos.

x = au+bv+cw

Las coordenadas del vector respecto a la base son:

Base ortogonal

Una base es ortogonal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí.

Base ortonormal

Una base es ortonormal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1.

{i,j,k}

  • i = (1,0,0)
  • j = (0,1,0)
  • k = (0,0,1)

|i| = |j| = |k| = 1

i⊥j, j⊥k, k⊥i

Esta base formada por los vectores i, j y k se denomina base canónica.

Ejm

¿Para qué valores los vectores u = (1,1,1), v = (1,a,1) y w = (1,1,a) forman una base?

Base (Ejm)

a2+1+1 - (a+a+1) ≠ 0 
a2+2-2a-1 ≠ 0
a2-2a+1 ≠ 0
(a-1)2 ≠ 0
a ≠ 1

Para a ≠ 1 los vectores forman una base.