Puntos en el espacio

Coordenadas del punto medio de un segmento

Sean A(x1,y1,z1) y B(x2,y2,z2) los extremos de un segmento, el punto medio de un segmento viene dado por:

Coordenadas del punto medio de un segmento

M(x1+x2/2, y1+y2/2, z1+z2/2)

Ejm

Dados los puntos

  • A(3,-2,5)
  • B(3,1,7)

hallar las coordenadas del punto medio del segmento que determinan

M(3+3/2, -2+1/2, 5+7/2) = (3,-1/2, 6)

Coordenadas del baricentro de un triángulo

Sean

  • A(x1,y1,z1)
  • B(x2,y2,z2)
  • C(x3,y3,z3)

los vértices de un triángulo, las coordenadas del baricentro son:

Coordenadas del baricentro de un triángulo

G(x1+x2+x3/3, y1+y2+y3/3, z1+z2+z3/3)

Ejm

Sean

  • A(1,-1,3)
  • B(3,2,-2)
  • C(-1,4,1)

los vértices de un triángulo. Determinar las coordenadas del baricentro

G(1+3-1/3, -1+2+4/3, 3-2+1/3) = (1,5/3,2/3)

Puntos alineados

3 o más puntos están alineados si están en una misma recta, y por tanto el rango de los vectores determinados por ellos es 1.

Ejm

Comprobar si los puntos

  • A(2,3,1)
  • B(5,4,3)
  • C(2,1,2)

están alineados

AB = (5-2,4-3,3-1) = (3,1,2)
AC = (2-2,1-3,2-1) = (0,-2,1)
Puntos alineados (Ejm)
rang(AB,AC) = 2
Por lo tanto los puntos no están alineados.

Puntos coplanarios

2 o más vectores son coplanarios si son linealmente dependientes, y por tanto sus componentes son proporcionales, y su rango es 2.

2 o más puntos son coplanarios si los vectores determinados por ellos también son coplanarios.

Ejm

Comprobar si los puntos

  • A(1,2,3)
  • B(4,7,8)
  • C(3,5,5)
  • D(-1,-2,-3)
  • E(2,2,2)

son coplanarios.

Los puntos A, B, C, D, E son coplanarios si:
rang(AB, AC, AD, AE) = 2

AB = (3,5,5)
AC = (2,3,2)
AD = (-2,-4,-6)
AE = (1,0,-1)

Punto coplanarios (Ejm)
rang(AB, AC, AD, AE) = 3, por lo tanto
los puntos A, B, C, D, E NO son coplanarios.