Ecuaciones del plano

Ecuación vectorial

Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectores con distinta dirección. Para que el punto P pertenezca al plano n, el vector PX tiene que ser coplanario con u y v.

PX = λu + μv

(x-x0,y-y0,z-z0) = λ(u1,u2,u3)+μ(v1,v2,v3)

(x,y,z) = (x0,y0,z0)+ λ(u1,u2,u3)+μ(v1,v2,v3)

Ecuación vectorial

Ecuaciones paramétricas del plano

Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad

(x,y,z) = (x0+u1λ+v1μ, y0+u2λ+v2μ, z0+u3λ+v3μ)

Esta igualdad se verifica si:

  • x = x0+u1λ+v1μ
  • y = y0+u2λ+v2μ
  • z = z0+u3λ+v3μ

Ecuación general o implícita del plano

Un punto está en el plano n si tiene solución el sistema

  • x = x0+u1λ+v1μ
  • y = y0+u2λ+v2μ
  • z = z0+u3λ+v3μ

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y μ. Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero

Ecuación general o implícita del plano

Desarrollamos el determinante

Ecuación general o implícita del plano 2

Sustituimos

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0) = 0

Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:

D = Ax0+By0-Cz0

Obtenemos la ecuación general del plano

Vector normal

El vector n = (A,B,C) es un vector normal al plano, es decir, perpendicular al plano.

Vector normal

Si P(x0,y0,z0) es un punto del plano, el vector PX = (x-x0, y-y0, z-z0) es perpendicular al vector n, y por tanto el producto escalar es cero.

PX*n = 0

De este modo también podemos determinar la ecuación general del plano, a partir de un punto y un vector normal.

Ecuación canónica o segmentaria del plano

Sean los puntos

  • A(a,0,0)
  • B(0,b,0)
  • C(0,0,c)

la ecuación canónica viene dada por:

x/a + y/b + z/c = 1

  • a = -D/A
  • b = -D/B
  • c = -D/C