Distancia entre rectas y planos

Distancia entre un punto y una recta

La distancia de un punto P a una recta r es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos puntos de la venta. Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto hasta la recta.

Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto hasta la recta.

Distancia entre un punto y una recta (Ecuación)

Distancia entre un punto y una recta (Gráfica)

Ejm

Hallar la distancia desde el punto P(1,3,-2) a la recta

Recta (ejm)

Distancia entre un punto y una recta (Ejm)

Distancia entre rectas paralelas

La distancia de una recta r a otra paralela s es la distancia desde un punto cualquiera de r a s.

Distancia entre rectas paralelas (Gráfica)

Distancia entre rectas paralelas (Ecuación)

Distancia entre rectas que se cruzan

La distancia entre 2 rectas que se cruzan se mide sobre la perpendicular común.

Sean (A,u) y (B,v) las determinaciones lineales de las rectas r y s.

Distancia entre rectas que se cruzan (Gráfica)

Los vectores AB, u y v determinan paralelepípedo cuya altura es la distancia entre las 2 rectas.

El volumen de un paralelepípedo es V = Ab*h

Teniendo en cuenta el volumen es el valor absoluto del producto mixto de los 3 vectores  y el área de la base es el producto vectorial de los vectores de las rectas, la altura, es decir, la distancia entre los 2 puntos es igual a:

Distancia entre rectas que se cruzan (Ecuación)

Ejm

Hallar la mínima distancia entre las rectas

  • r = x+8/2 = y-10/3 = z-6/1
  • s = x-1/-1 = y-1/2 = z-1/4
Distancia entre rectas que se cruzan (Ejm)

Distancia de un punto a un plano

La distancia de un punto P a un plano n es la menor de la distancia  desde el punto a los infinitos puntos del plano. Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto al plano.

  • P (x0,y0,z0)
  • s = Ax+By+Cz+D = 0

d(P,x) = |Ax0+By0+Cz0+D) / √A2+B2+C2

Ejm

Hallar la distancia del punto P(3,1,-2) a los planos

  • x1 = 2x+y-z+1 = 0
  • x2 = 2y- 3 = 0
Distancia de un punto a un plano (Ejm)

Distancia entre planos paralelos

Para calcular la distancia entre 2 planos paralelos, se halla la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro.

También se puede calcular de esta forma.

  • x1 = Ax+By+Cz+D1 = 0
  • x2 = Ax+By+Cz+D2 = 0

d(x1,x2) = |D2-D1 | / √A2+B2+C2

Ejm

Calcular la distancai entre los planos

  • x1 = 2x-y-2z+5 = 0
  • x2 = 4x-2y-4z+15 = 0
2/4 = -1/-2 = -2/-4 ≠ 5/15
Los 2 planos NO son paralelos.

Transformamos la ecuación del segundo plano para que los 2 planos tengan
el mismo vector normal.

x2 = 2x-y-2z+15/2 = 0

Distancia entre planos paralelos (Ejm)