Áreas y volúmenes

Área de un triángulo

Área de un triángulo

A = 1/2|uxv|

Ejm

Determinar el área de un triángulo cuyos vértices son los puntos

  • A(1,1,3)
  • B(2,-1,5)
  • C(-3,2,1)
Área de un triángulo (Ejm)

Área de un paralelogramo

Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

A = |u|*h = |u||v|senα = |uxv|

Área del paralelogramo (Img)

Ejm

Dados los vectores

  • u = (3,1,-1)
  • v = (2,3,4)

hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores u y v

Área del paralelogramo (Ejm)

Volumen de un tetraedro

El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto.

Volumen del tetraedro (Ecuación)

Ejm

Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos

  • A(3,2,1)
  • B(1,2,4)
  • C(4,0,3)
  • D(1,1,7)
Volumen del tetraedro (Ejm)

Volumen del paralelepípedo

Geométricamente, el valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo, cuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vértice.

Ejm

Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores

  • u = (3,-2,5)
  • v = (2,2,-1)
  • w = (-4,3,2)
Volumen del paralelepípedo (Ejm)

Distancia entre planos paralelos

Para calcular la distancia entre 2 planos paralelos, se halla la distancia de un punto cualquiera de ellos al otro.

También se puede calcular de esta otra forma

  • x1 = Ax+By+Cz+D1
  • x2 = Ax+By+Cz+D2

d(x1,x2) = |D2-D1| / √A2+B2+C2

Ejm

Calcular la distancai entre los planos x1 = 2x-y-2z+5 =0 y x2 = 4x-2y-4z+15 = 0.

2/4 = -1/2 = -2/-4 ≠ 5/15
Los 2 planos son paralelos

Transformamos la ecuación del segundo plano para que los 2 planos
tengan el mismo vector normal.

Distancia entre 2 planos paralelos (Ejm)