Ángulo entre rectas y planos

Ángulo entre 2 rectas

El ángulo que forman 2 rectas es igual al ángulo agudo determinado por los vectores directores de las rectas.

Ángulo entre 2 rectas

2 rectas son perpendiculares si vectores directores son ortogonales.

r⊥s -> u*v = 0 -> u1v1+u2v2+u3v3 = 0

Ejm

Hallar el ángulo que forman las rectas

  • r = x-2/2 = y+1/1 = z/1
  • s = x+1/-1 = y/2 = z/1
Los vectores son
u = (2,1,1)
v = (-1,2,1)

Ángulo entre 2 rectas (Ejm)

Ángulo entre 2 rectas (Ejm2)

Ángulo entre 2 planos

El ángulo formado por 2 planos es igual al ángulo agudo determinado por los vectores normales de dichos planos.

  • n1 = (A1,B1,C1)
  • n2 = (A2,B2,C2)

Ángulo entre 2 planos

2 planos son perpendiculares si vectores normales son ortogonales.

2 planos perpendiculares

Ejm

Hallar el ángulo que forman los planos

  • x1 = 2x-y+z-1 = 0
  • x2 = x+z+3 = 0
n1 = (2,-1,1)
n2 = (1,0,1)

Ángulo entre 2 planos (Ejm)
Ángulo entre 2 planos (Ejm2)

Ángulo entre recta y plano

El ángulo que forma una recta r y un plano n es el ángulo formado por r con su proyección ortogonal sobre n, n’.

Ángulo entre recta y plano

El ángulo que forman una recta y un plano es igual al complementario del ángulo agudo que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano.

  • u = (u1,u2,u3)
  • n = (A,B,C)

Ángulo entre recta y plano 2

Ángulo entre recta y plano 3

Si la recta r y el plano n son perpendiculares, el vector director de la recta y el vector normal del plano tienen la misma dirección, y por tanto sus componentes son proporcionales.

u1/A = u2/B = u3/C

Ejm

Determinar el ángulo que forman la recta r = x-1/2 = y+1/1 = z/2 y el plano x = x+y-1 = 0.

u = (2,1,2)
n = (1,1,0)

Ángulo entre recta y plano (Ejm)

Ángulo entre recta y plano (Ejm2)