Posiciones relativas de una recta y un plano

Caso 1: la recta viene definida por 2 planos secantes

Sea la recta

Recta definida por 2 planos secantes

Y el plano

A3x+B3y+C3z+D3 = 0

Para estudiar la posición relativa de la recta y el plano, discutimos el sistema:

Recta definida por 2 planos secantes 2

Si:

  • r = rango de la matriz de los coeficientes
  • r’ = rango de la matriz ampliada

Las posiciones relativas de la recta y el plano vienen dadas por la siguiente tabla.

Posición r r’
Recta contenida en el plano 2 2
Recta y plano paralelos 2 3
Recta y plano secantes 3 3

Caso 2: la recta viene definida por un punto y un vector

Sea una recta definida por el punto A y el vector u, y un plano cuyo vector normal es n. Las posiciones relativas de la recta y el plano son:

Posición u*n A
Recta contenida en el plano = 0 ∈n
Recta y plano paralelos = 0 ∉n
Recta y plano secantes ≠ 0

Recta contenida en el plano

Recta contenida en el plano

Recta y plano paralelos

Recta y plano paralelos

Recta y plano secantes

Recta y plano secantes