Posiciones relativas de dos rectas

Rectas definidas por sus ecuaciones implícitas

Rectas definidas por sus ecuaciones implicitas 1

Rectas definidas por sus ecuaciones implicitas 2

Si:

  • r = rango de la matriz de los coeficientes.
  • r’ = rango de la matriz ampliada.

Las posiciones relativas de las 2 rectas vienen dadas vienen dadas por la siguiente tabla:

Posición r r’
Cruzadas 3 4
Secantes 3 3
Paralelas 2 3
Coincidentes 2 2

Rectas definidas por un punto y un vector

Si la recta r viene determinada por

  • A (x1,y1,z1)
  • u = (u1,u2,u3)

y la recta s por

  • B(x2,y2,z2)
  • v = (v1,v2,v3)

La posición relativa de r y s viene dada por la posición de AB, u y v.

Si u1/v1 = u2/v2 = u3/v3, hay 2 posibilidades:

A) Rectas coincidentes: si x2-x1/u1 = y2-y1/u2 = z2-z1/u3

Rectas coincidentes

B) Rectas paralelas: si x2-x1/u1 ≠ y2-y1/u2 o x2-x1/u1 ≠ z2-z1/u3

Rectas paralelas

Si u1/v1 ≠ u2/v2 ≠ u3/v3 hay otras 2 posibilidades.

C) Rectas secantes: si

Rectas secantes

Rectas secantes (gráfico)

D) Rectas que se cruzan: si

Rectas que se cruzan

Rectas que se cruzan (gráfico)