Posiciones relativas de 3 planos

Dados los planos

  • A1x+B1y+C1z+D1 = 0
  • A2x+B2y+C2z+D2 = 0
  • A3x+B3y+C3z+D3 = 0

Y sean

  • r = rango de la matriz de los coeficientes.
  • r’= rango de la matriz ampliada.

Las posiciones relativas de los 3 planos viene dada por la siguiente tabla

r r’ Posición
3 3 1. Planos secantes en un punto
2 3
proporción
2.1 Planos secantes dos a dos.
2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante.
2 2
proporción
3.1 Planos secantes y distintos.
3.2 Dos planos coincidentes y uno secante.
1 2
proporción
4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos.
4.2 Planos paralelos y dos coincidentes.
1 1 5. Planos coincidentes.

Caso 1. Planos secantes en un punto

r=3, r’=3

Caso 1. Planos secantes en un punto

Caso 2.1. Planos secantes 2 a 2

r=2, r’=3

Los 3 planos forman una superficies prismática

Caso 2.1. Planos secantes 2 a 2

Caso 2.2. Dos planos paralelos y el tercero secante

r=2, r’=3

Caso 2.2. Dos planos paralelos y el tercero secante

Caso 3.1. Planos secantes y distintos

r=2, r’=2

Caso 3.1. Planos secantes y distintos

Caso 3.2. Dos planos coincidentes y uno secante

r=2, r’=2

2 filas de la matriz ampliada son proporcionales

Caso 3.2. Dos planos coincidentes y uno secante

Caso 4.1. Planos paralelos y distintos dos a dos

r=1, r’=2

Caso 4.1. Planos paralelos y distintos dos a dos

Caso 4.2. Planos paralelos y dos coincidentes

r=1, r’=2

2 filas de la matriz ampliada son proporcionales.

Caso 4.2. Planos paralelos y dos coincidentes

Caso 5. Planos coincidentes

r=1, r’=1

Caso 5. Planos coincidentes