Haz de planos

Haz de planos paralelos

2 planos son paralelos si los coeficientes x, y, z de sus ecuaciones son proporcionales, pero no lo son sus términos independientes.

Todos los planos paralelos a uno dado admiten una ecuación de la forma

Ax+By+Cz+K = 0 -> k ∈ R

Haz de planos paralelos

Ejm

Hallar el plano que pasa por el punto (3,-1,2) y es paralelo a x+2y-3z-5 = 0

3+2(-1)-3(2)+k = 0 -> k=5
El plano es entonces x+2y-3z+5 = 0

Haz de planos de eje r

Haz de planos de eje r

Si r viene definida por sus ecuaciones implícitas

Ecuaciones implícitas de r

La ecuación del haz de planos de eje r viene dad por la igualdad:

λ(Ax+By+Cz+D) + μ(A’x+B’y+C’z+D) = 0

Si dividimos por λ y hacemos k=μ/λ, la ecuación del haz resulta

(Ax+By+Cz+D) + k(A’x+B’y+C’z+D’) = 0

Ejm

Hallar en la ecuación del plano que pasa por el punto (3,2,-3) y pertenece al haz de planos de eje en la recta

Haz de planos (Ejm)

2x+3y-z-9 + k(-x+2y+3z+2) = 0
2(3)+3(2)+3 + k(-3+2(2)+3(-3)+2) = 0 -> k=1
2x+3y-z-9 + (-x+2y+3z+2) = 0
x+5y+2z-7 = 0