Ecuación de la hipérbola equilátera

Las hipérbolas en la que los semiejes son iguales se llama equiláteras, por tanto a=b. Su ecuación es:

x2-y2 = a2

Ecuación de la hipérbola equilátera

Las asíntotas tienen por ecuación:

y=x, y=-x

Es decir, las bisectrices de los cuadrantes.

La excentricidad es:

e = √2

Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas

Para pasar de los ejes 0X, 0Y a los determinados por las asíntotas, bastará dar un giro de 45º alrededor del origen de coordenadas. Quedando la ecuación como:

x*y = a2/2
x*y = k

Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas   Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas 2

Si efectuamos un giro de 45º en los ejes, la hipérbola que queda en el segundo y cuarto cuadrante  y su ecuación será:

x*y = -k

Ejm

La ecuación x*y = 1 representa una hipérbola equilátera, calcular sus vértices y focos.

Como las coordenadas de los vértices se encuentran en la bisectriz del
primer y tercer cuadrante, la primera componente y la segunda componente
coinciden, es decir, x=y. Y como además el punto A pertenece a la curva,
tendremos:

x*x = 1 -> x = ±1
A(1,1) A(-1,-1)

El semieje a es la distancia del origen al vértice A

a = √12+12 = √2
b = a = √2
c = √(√2)2+(√2)2 = 2

El semieje c es la distancia del origen al vértice C.

22 = x2+y2 -> x=y
4 = 2x2 -> x=±√2

F(√2,√2) F'(-√2,-√2)