Funciones reales (Resumen)

Concepto de función

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

  • f:D ->R
  • x -> f(x) = y

El subconjunto en el que se define la función se denomina dominio o campo de existencia de la función. Se designa por D.

El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

Al número y, asociado por f al valor de x, se le llama variable dependiente, la imagen de x se designa por f(x), luego y = f(x).

Dominio de una función

  • Dominio de la función polinómica entera: el dominio es R, cualquier número real tiene imagen.
  • Dominio de la función racional: el dominio es R menos los valores que anulen al denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero).
  • Dominio de la función irracional de índice impar: el dominio es R.
  • Dominio de la función irracional de índice par: el dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
  • Dominio de la función logarítmica: el dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.
  • Dominio de la función exponencial: el dominio es R.
  • Dominio de la función seno: el dominio es R.
  • Dominio de la función coseno: el dominio es R.
  • Dominio de la función tangente: D = R – {(2k+1, π/2 ; k∈Z} – D = R – {…, -π/2, π/2, 3π/2, …}
  • Dominio de la función cotangente: D = R – {kπ; k ∈ Z} – D = R – {…, -π, 0, π, …}
  • Dominio de la función secante: D = R – {(2k + 1), π/2; k ∈ Z} – D = R – {…, -π/2, π/2, 3π/2, …}
  • Dominio de la función cosecante: D = R – {kπ; k ∈ Z} – D = R – {…, -π, 0, π, …}
  • Dominio de operaciones con funciones: D(f + g) = D(f – g) = D(f * g) = D(f) ∩ D(g)
  • Dominio de operaciones con funciones (2): D(f / g) = D(f) ∩ D(g) – {x ∈ R / g(x) = 0}

Gráfica de funciones

Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de definición de la función.

Composición de funciones

Si tenemos 2 funciones f(x) y g(x), de modo que el dominio de la segunda esté incluído en el recorrido de la primera, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

Función inversa o recíproca

Se llama función inversa o recíproca de f a otra función f-1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f-1(b) = a
f o f-1 = f-1 o f = x

Cálculo de la función inversa

  • Se escribe la ecuación de la función en x e y.
  • Se intercambian las variables.
  • Se despeja la variable x en función de la variable y.

Crecimiento y decrecimiento

Tasa de variación

El incremento de una función se llama tasa de variación, y mide el cambio de la función al pasar de un punto a otro.

t.v. = f(x+h) - f(x)

Función estrictamente creciente

f es estrictamente creciente en a si sólo existe un entorno de a, tal que para toda x que pertencezca al entorno de a se cumple:

  • x > a -> f(x) > f(a)
  • x < a -> f(x) < f(a)

La tasa de variación es positiva.

Función creciente

f es creciente en a si sólo existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca al entorno de a se cumple

  • x > a -> f(x) ≥ f(a)
  • x < a -> f(x) ≤ f(a)

La tasa de variación es positiva o igual a cero.

Función estrictamente decreciente

f es estrictamente decreciente en a si sólo existe un entorno de a, tal que para que todo x pertenezca al entorno de a se cumple:

  • x > a -> f(x) < f(a)
  • x < a -> f(x) > f(a)

La tasa de variación es negativa.

Función decreciente

f es decreciente en a si sólo existe un entorno de a para toda x que pertenezca al entorno de se cumple:

  • x < a -> f(x) ≥ f(a)
  • x > a -> f(x) ≤ f(a)

La tasa de variación es negativa o igual a cero.

Cotas

Función acotada superiormente

Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k. El número k se llama cota superior.

Función acotada inferiormente

Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′. El número k′ se llama cota inferior.

Función acotada

Una función esta acotada si lo está superior e inferiormente.

  • k′ ≤ f(x) ≤ k

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Máximo y mínimo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a. Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

Simetría

Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica:

  • f(-x) = f(x)

Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de funciones pares.

Simetría respecto al origen

Una función f es simétrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verifica:

  • f(-x) = -f(x)

Las funciones simétricas respecto al origen reciben el nombre de funciones impares.

Funciones periódicas

Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica:

  • f(x) = f(x + z T)

i tenenos una función periódica f(x) de periodo T, la función g(x) = f(kx) tiene de periodo:

T’ = T / k