Tipos de funciones

Los tipos de funciones que podemos encontrar son las siguientes:

  • Algebraicas
    • Polinómicas
      • Constantes
      • De primer grado
      • Cuadráticas
    • Racionales
    • Radicales
    • A trozos
  • Trascendentes
    • Exponenciales
    • Logarítmicas
    • Trigonométricas

1. Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas, las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: adición, sustracción, producto, cociente, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

  • Implícitas: si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. Ejm: f(x) = 5x-2
  • Explícitas: si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones. Ejm: 5x-y-2 = 0

1.1. Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

  • f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn

Su dominio es R, es decir, cualquier número real tiene imagen.

Las funciones polinómicas pueden ser:

1.1.1. Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

  • f(x) = k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

1.1.2. Funciones polinómicas de primer grado

Son del tipo

  • f(x) = mx+n

Su gráfica es una recta oblícua, que queda definida por dos puntos de la función. Son funciones de este tipo las siguientes.

  • Función afín.
  • Función lineal
  • Función identidad
Función afín

La función afín es del tipo

  • y = mx+n

donde m es la pendiente de la recta (la pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas). 2 rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Pendiente de 2 rectas paralelas

n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.

Función afín

Función lineal

La función lineal es del tipo

  • y = mx

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

Ejemplo

y = 2x

La gráfica será la siguiente

Función identidad

Es del tipo

f(x) = x

Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Función identidad

1.1.3. Funciones cuadráticas

Son del tipo

  • f(x) = ax2+bx+c

Son funciones polinómicas de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

1.2. Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios.

  • f(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn / b0 + b1x + b2x2 + b3x3 + … + bnxn

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan al denominador.

1.3. Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. El dominio de una función irracional de índice impar es R. El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

1.4. Funciones algebraicas a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren. Nos encontramos los siguientes tipos de funciones algebraicas.

  • Funciones en valor absoluto.
  • Función parte entera de x.
  • Función mantisa
  • Función signo.

Función en valor absoluto

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

  • Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
  • Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.
  • Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.
  • Representamos la función resultante.

Puedes ver un ejm pinchando en el link de abajo.

Función a trozos (ejemplo)

Función parte entera de x

Es una función que a cada número real hace corresponder el número entero inmediatamente inferior.

  • f(x) = E(x)
x f(x) = E(x)
0 0
0.5 0
0.9 0
1 1
1.5 1
1.9 1
2 2

 

Ejm función parte entera de x

Función mantisa

Función que hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte entera.

x f(x) = x – E(x)
0 0
0.5 0.5
0.9 0.9
1 0
1.5 0.5
1.9 0.9
2 0

 

Función mantisa

Función signo

Son del tipo

  • f(x) = sgn(x)

Función signo

2. Funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

2.1. Funciones exponenciales

Son del tipo

  • f(x) = ax

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

2.2 Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

  • f(x) = logax
a > 0, a ≠ 1

2.3. Funciones trigonométricas

Pueden ser:

2.3.1. Función seno

Es del tipo

  • f(x) = sen x

2.3.2. Función coseno

Es del tipo

  • f(x) = cos x

2.3.3. Función tangente

Es del tipo

  • f(x) = tg x

2.3.4. Función cosecante

Es del tipo

  • f(x) = cosec x

Función secante

Es del tipo

  • f(x) = sec x

Función cotangente

Es del tipo

  • f(x) = cotg x