Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a. Es del tipo:

  • f(x) = logax (cuando a >0 y a ≠ 1)

Pincha en el enlace de abajo para ver un ejemplo de función logarítmica en base a:

Función logarítmica en base a (Ejemplo)

Propiedades de las funciones logarítmicas

  • Dominio: es R+
  • Recorrido: es R
  • La función es contínua.
  • Los puntos (1,0) y (a,1) pertenecen a la gráfica.
  • Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).
  • Es creciente si a > 1.
  • Es decreciente si 0 < a < 1
  • Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

Gráfica de función logarítmica

Gráfica de función logarítmica 2

Logaritmo (definición)

Es de la siguiente forma:

  • logax = y => ay = x  ->  a > 0 y a ≠ 1

Siendo a la base, x el número, e y el logaritmo. Veamos algunos ejemplos:

  • log24 = 2 -> 22 = 4
  • log21 = 0 -> 20 = 1

Pincha en el link para ver otro ejemplo de logaritmo.

Logaritmo (Ejemplos)

De la definición de logaritmo podemos deducir:

  • No existe el logaritmo de un número con base negativa (log-ax).
  • No existe el logaritmo de un número negativo (loga(-x)).
  • No existe el logaritmo de cero (loga0).
  • El logaritmo de 1 es 0 (loga1 = 0).
  • El logaritmo en base a de a es 1 (logaa = 1).
  • El logaritmo en base a de una potencia en base es igual al exponente (logaan = n).

Propiedades de los logaritmos

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

  • loga(x*y) = logax + logay

Ejm

log2(4*8) = log24 + log28 = 2+3 = 5

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

  • loga(x/y) = logax – logay

Ejm

log2(8/4) = log28 - log24 = 3-2 = 1

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base

  • loga(xn) = n*logax

Ejm

log2(84) = 4 * log28 = 4*3 = 12

4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

  • loga(n√x) = 1/n * logax

Ejm

log2(4√8) = 1/4 * log28 = 1/4*3 = 3/4

5. Cambio de base

  • logax = logbx / logba

Ejm

log24 = log44 /log42 = (1/1)/2 = 2

Logaritmos decimales

Los logaritmos decimales son aquellos que tienen base 10. Se representan por log (x)

Logaritmos neperianos

Son los que tienen base e. Se representan por ln(x) o L(x)