Sucesiones – Resumen

Sucesiones

Una sucesión es un conjunto de números dispuestos uno a continuación del otro.

a1, a2, a3, ... an

Los números a1, a2, a3, … se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es an, es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Determinación de una sucesión

1. Por el término general

an = 2n - 1

2. Por una ley de recurrencia

Los términos se obtienen operando con los anteriores.

Operaciones con sucesiones

Dadas las sucesiones an y bn.

  • an = a1, a2, a3, … an
  • bn = b1, b2, b3,… bn

1. Suma con sucesiones

(an) + (bn) = (an + bn)

(an + bn) = (a1+b1, a2+b2, … an+bn)

Propiedades de la suma con sucesiones

  • Asociativa: (an + bn)  + cn = an + (bn + cn)
  • Conmutativa: an + bn = bn + an
  • Elemento neutro: (0) = (0, 0, 0, …)
  • Sucesión opuesta: (-an) = (-a1, -a2, -a3, … -an), de manera que (an) + (-an) = 0

2. Diferencia con sucesiones

(an) – (bn) = (an – bn)

(an – bn) = (a1-b1, a2-b2, a3-b3, …)

3. Producto con sucesiones

(an) * (bn) = (an * bn)

(an) * (bn) = (a1*b1, a2*b2, a3*b3, …, an*bn)

Propiedades

  • Asociativa: (an * bn) * cn = an * (bn * cn)
  • Conmutativa: an * bn = bn * an
  • Elemento neutro: (an) * (1) = an
  • Distributiva respecto de la suma: an * (bn + cn)  = an * bn + an * cn

4. Sucesión invertible

Una sucesión es inversible o invertible si todos los términos son distintos de cero. Si la sucesión bn es inversible,
su inversa es

(1/bn) = (1/b1, 1/b2, 1/b3, … 1/bn)

De tal manera que

(bn)*(1/bn) = 1

5. Cociente de sucesiones

Sólo es posible el cociente entre 2 sucesiones si el denominador es inversible.

(an) / (bn) = (an) * (1/bn)

Límite de una sucesión

El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.

1. Sucesiones convergentes

Son sucesiones convergentes aquellas que tienen límite.

2. Sucesiones divergentes

Son sucesiones divergentes aquellas que no tienen límite finito.

Tipos de sucesiones

Podemos encontrar los siguientes tipos

  • Sucesiones monótonas
    • Estrictamente crecientes: se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior. (an+1 > an).
    • 67252610: Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior (an+1 ≥an).
    • Estrictamente decrecientes: se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término es menor que el anterior (an+1 < an).
    • Decrecientes: se dice que una sucesión es decreciente si cada término es menor o igual que el anterior (an+1).
  • Sucesiones constantes: se dice que una sucesión es constante si todos sus términos son iguales: an = k.
  • Sucesiones acotadas inferiormente: una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número k que llamaremos ‘cota inferior’ de la sucesión
    • A la mayor de las cotas inferiores se le llama inferior o ínfimo.
    • Si el ínfimo de una sucesión es uno de los términos, se le llama mínimo.
    • Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.
  • Sucesiones acotadas superiormente: Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K’, que llamaremos cota superior de la sucesión.
    • an ≤ K’
    • A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.
    • Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos, se le llama máximo.
    • Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.
  • Sucesiones acotadas: una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K’ mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K’.

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa con la letra d.

Término general de una progresión aritmética

1. Si conocemos el primer término

La fórmula es la siguiente

an = a1 + (n – 1) * d

2. Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión

La fórmula es la siguiente

an = ak + (n – k) * d

Interpolación de términos

Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre 2 números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos a y b, el número de medios a interpolar m.

La fórmula es la siguiente

d = b – a / m + 1

Suma de términos equidistantes

Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.

ai + aj = a1 + an

a1, a2, a3, … an

a3 + an-2 = a2 + an-1 = a1 + an

Suma de n términos consecutivos

Sn = (a1 + an) * n / 2

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, denominada razón.

r = an / an-1

Término general de una progresión geométrica

1. Si conocemos el primer término

an = a1 * rn-1

2. Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la sucesión

an = ak * rn-k

Interpolación de términos

Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.

La fórmula de la interpolación es la siguiente

r = m+1√b / a

Suma de n términos consecutivos

Sn = an * r – a1 / r -1

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

S = a1 / 1 – r

Producto de 2 términos equidistantes

Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos

ai * aj = a1 * an

a1, a2, a3, …, an

a3 * an-2 = a2 * an-1 = a1 * an

Producto de n términos equidistantes

P = ±√(a1 * an)n

Término general de una sucesión

Los pasos a seguir son los siguientes

  • Comprobar si es una progresión aritmética
  • Comprobar si es una progresión geométrica
  • Comprobar si los términos son cuadrados perfectos

También es posible encontrarse con sucesiones cuyos términos son próximos a cuadrados perfectos

  • Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo.
    • Si los términos impares son negativos y los pares son positivos: multiplicamos an por (-1)n
    • Si los términos impares son positivos y los pares negativos: multiplicamos an por (-1)n-1
  • Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión)
    • Se calcula el término general del numerador y denominador por separado.