Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, denominada razón.

r = an / an-1

Si tenemos la sucesión 3, 6, 12, 24, 48 …

  • 6/3 = 2
  • 12/6 = 2
  • 24/12 = 2 …

r = 2

Término general de una progresión geométrica

1. Si conocemos el primer término

an = a1 * rn-1

Ejm

3, 6, 12, 24, 48

an = 3 * 2n-1 = 3*2n*2-1 = (3/2)*2n

2. Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión

an = ak * an-k

Ejm

a4 = 24, k = 24 y r = 2
an = a4 * rn-4
an = 24 * 2n-4 = (24/16) * 2n = (3/2) * 2n

Interpolación de términos en una progresión geométrica

Interpolar medios geométricos o proporcionales entre 2 números es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.

Sean lo sextremos a y b, y el número de medios a interpolar entre a y b, m.

La fórmula es

r = m+1√b/a

Ejm

Interpolar 3 medios geométricos entre 3 y 48

r = 4√48/3 = 4√16 = 2

3, 6, 12, 24, 48

Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica

La fórmula que se utiliza es

Sn = an*r – a1 / r – 1

Ejm

Calcular la suma de los 5 primeros términos de la progresión 3, 6, 12, 24, 48

S5 = 48*2 - 3 / 2 - 1 = 93

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

La fórmula es la siguiente

S = a1 / 1 – r

Ejm

Cálcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada

1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 ...

S = 1/1 - 1/2 = 2

Producto de dos términos equidistantes

Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos

ai * aj = a1 * an

a1, a2, a3, … an-2, an-1, an

a3 * an-2 = a2 * an-1 = a1 * an

Ejm

3, 6, 12, 24, 48

3 * 48 = 6 * 24 = 12 *12

144 = 144 = 144

Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica

La fórmula a utilizar es la siguiente

P = ±√(a1 * an)n

Ejm

Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión 3, 6, 12, 24, 48

P = ±√(3 * 4)5 = √(3 * 3 * 24)5 = √310 * 220 = 35 * 210 = 248.832