Límite de una sucesión

El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.

1,1/2,1/3,1/4, ... 1/n
  • a1 = 1
  • a2 = 0.5
  • a1000 = 0.001
  • a1000.000 = 0.000001

El límite es 0


1/2,2/3,3/4...n/n+1
  • a1 = 0.5
  • a2 = 0.666…
  • a1000 = 0.999000999001
  • a1000.000 = 0.999999000001

El límite es 1


5,7,9,11,13, … 2n+3

  • a1 = 5
  • a2 = 7
  • a1000 = 2003
  • a1000.000 = 2.000.003

El límite es ∞

Límite finito de una sucesión

Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquier número positivo E que tomemos, existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an siguientes a ak cumplen que |an – L| < E

lim an = L ⇔ ∀∈ > 0 ∃K ∈ N / ∀n > k |an - L| < E

La sucesión an = 1/n tiene por límite 0.

|1/k - 0| < ∈; 1/k < E; k > 1/E

Se puede determinar a partir de qué término de la sucesión, su distancia a 0 es menor que un número positivo E por pequeño que éste sea.

E = 0.1; k > 1/0.1; k > 10

Como k > 10, a partir de a11, se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.1

|1/11 - 0| < 0.1  ---  0.0909090909091 < 0.1

Vamos a determinar a partir de que término la distancia a 0 es menor que 0.001

E = 0.001; k > 1/0.001; k>1000
|1/1001 - 0| < 0.001; 0.000999000999 < 0.001

A partir de a1001 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.001.

También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos.

Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio E, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.

lim an = L ⇔ ∀E > 0 ∋K E N / ∀n > k an ∈ E(L,E)

Límite infinito de una sucesión

Una sucesión an tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an siguientes a ak cumplen que an>M

lim an = +∞ ⇔ ∀M > 0 ∃K ∈ N / ∀N > k an > M

El límite de la sucesión an = n2 es +∞

1,4,9,16,25,36...

n2 > M; n>√M

Si M es igual a 10.000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de 101 superará a 10.000

a101 = 1012 = 10.201

Una sucesión an tiene por límite -∞ cuando para toda N > 0 existe un término ak a partir del cual todos los términos de an siguientes a ak cumplen que an < -N.

lim an = -∞ ⇔ ∀N > 0 ∃k ∈ N/∀n > k an < -N

Vamos a comprobar que el límite de la sucesión an = -n2 es -∞

-1,-4,-9,-16,-25...
-n2 < -N; n > √N

Si N = 10.000, su raíz cuadrada es 100, por lo tanto a partir de a101 superará los 10.000

a101 = -1012 = -10.201