Números reales y radicales – resumen

Los números racionales

Un número es racional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por lo cual no se pueden expresar en forma de fracción.

Los números reales

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa con la letra R.

Con los números reales se pueden realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.

Los intervalos están determinados  por dos números que se denominan extremos, en su intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos, y también pueden estar los extremos.

Intervalos

  • Intervalo abierto: (a,b) = {x∈R / a<x<b}
  • Intervalo cerrado; [a,b] = {x∈R / a≤x≤b}
  • Intervalo semiabierto por la izquierda: (a,b] = {x∈R / a≤x<b}
  • Intervalo semiabierto por la derecha: [a,b) = {x∈R / a<x≤b}

Semirrectas

  • x>a -> (a,+∞) = {x∈R / a<x<+∞}
  • x≥a -> [a,+∞) = {x∈R / a≤x<+∞}
  • x<a -> (-∞,a) = {x∈R / -∞<x<a}
  • x≤a -> (-∞,a] = {x∈R / -∞<x≤a}

Valor absoluto

|a| =

  • -a si a<0
  • a si a≥0

Propiedades

  • |a| = |-a|
  • |a*b| = |a|*|b|
  • |a+b| ≤ |a|-|b|

Distancia

d(a,b) = |b-a|

Entornos

Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por Er(a), o E(a,r) al intervalo abierto (a-r,a+r).

Entornos laterales

  • Por la izquierda: Er(a-) = (a-r,a)
  • Por la derecha: Er(a+) = (a,a+r)
  • Entorno reducido: Er *(a) = {x∈R (a-r,a+r),x≠a}

Potencias

1. Potencia con exponente entero

a-n = 1/an -- a≠0

2. Potencia con exponente racional

am/n = n√am

Propiedades

  • a0 = 1
  • a1 = a
  • am*an = am+n
  • am:an = am-n
  • (am)n = am*n
  • an*bn = (a*b)n
  • an:bn = (a:b)n

Radicales

Un radical es una expresión de la forma n√a, en la que n∈N y a∈R, con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

Se puede expresar un radical en forma de potencia.

n√am = am/n

Radicales equivalentes

am/n = ak*m/k*n -- n√am = k*n√ak*m

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divide al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

Reducción de radicales a índice común

  • Hallamos el mcm de los índices, que será el común índice.
  • Dividimos el común índice por cada uno de los índices, y cada resultado obtenido se multiplica por cada uno de sus exponentes correspondientes.

Extracción de factores fuera del signo radical

Se descompone el radicando en factore, si:

  • Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando
  • Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando

Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando, y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical

Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical.

Operaciones con radicales

1. Suma de radicales

Sólamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando se trata de radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

2. Producto de radicales

  • Radicales del mismo índice: √a*√b = √a*b
  • Radicales de distinto índice: primero se reducen a índice común para posteriormente multiplicar

3. Cociente de radicales

  • Radicales del mismo índice: n√a / n√b = n√a/b
  • Radicales de distinto índice: primero se reducen a índice común para posteriormente dividirse.

4. Potencia de radicales

(n√a)m = n√am

5. Raíz de un radical

nm√a = n*m√a

Racionalizar

Racionalizar consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

Se pueden distinguir 3 casos:

1. Del tipo a/b*√c

Se multiplica numerador y denominador por √c

a/b*√c = a*√c/b*√c*√c = a*√c/b(√c)2 = a*√c/b*c

2. Del tipo a/b*n√bm

Se multiplica numerador y denominador por n√cn-m

3. Del tipo a/√b+√c

Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical. Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador.