Resumen de fracciones y números racionales

Fracción

Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la siguiente forma

a / b  -> b ≠ 0
  • b: denominador: indica el número de partes en que se ha dividido la unidad
  • a: numerador: indica el número de unidades fracconarias elegidas

Tipos de fracciones

  • Fracciones propias: son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador.
  • Fracciones impropias: son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador.
  • Número mixto: es el que está compuesto de parte entera y parte fraccionaria. Para pasar de número mixto a fracción, se deja el mismo denominador y elnumerador es la suma del producto del entero por el denominador más el numerador, del número mixto. Para pasar una fracción impropia a número mixto, se divide el numerador por el denominador. El cociente es el entero del número mixto y el resto el numerador de la fracción, siendo el denominador el mismo.
  • Fracciones unitarias: son aquellas cuyo numerador es igual al denominador.
  • Fracciones decimales: son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10.
  • Fracciones equivalentes: dos fracciones son equivalentes cuando el producto de sus extremos es igual al producto de sus medios. Si se multiplica o divide el numerador y denominador de una fracción por un número entero, distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada. Al primer caso le denominamos ampliar o amplificar, al segundo le denominamos simplificar.
  • Fracciones irreducibles: son aquellas que no se pueden simplificar.

Reducción de fracciones a común denominador

Reducir varias fracciones a común denominador consiste en convertirlas en otras equivalentes que tengan el mismo denominador. Para ello

  • Se haya el denominador común, que será el mcm de los denominadores.
  • Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

Comparación de fracciones

  • Fracciones con igual denominador: de dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor el que tienemenor numerador.
  • Fracciones con igual numerador: de dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador.
  • Fracciones con numeradores y denominadores distintos: Lo primero que se ha de hacer es pasar las fracciones a común denominador, una vez hayado ésto la fracción menor será la que tenga menor numerador.

Números racionales

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por Q.

Suma y diferencia de números racionales

  • Con el mismo denominador: se suman los numeradores y se mantiene el denominador
  • Con distinto denominador: en primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas

Propiedades

  • Interna
  • Asociativa
  • Conmutativa
  • Elemento neutro
  • Elemento opuesto (o inverso)

Producto de números racionales

El producto de 2 números racionales es otro número racional, que tiene:

  • Por numerador el producto de sus numeradores.
  • Por denominador el producto de sus denominadores.

Propiedades

  • Interna
  • Asociativa
  • Conmutativa
  • Elemento neutro
  • Elemento inverso
  • Distributiva
  • Sacar factor común

Cociente de números racionales

El cociente de 2 números racionales es otro racional que tiene:

  • Por numerador el producto de sus extremos.
  • Por denominiador el rproducto de sus medios.

Potencia de fracciones

potencia-de-fracciones

potencias-de-exponente-entero-y-base-racional-2

potencias-de-exponente-entero-y-base-racional-3

Propiedades

  • potencia-de-cero
  • potencia-de-1
  • Producto de potencias con la misma base: es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de sus exponentes.
  • Producto de potencias con el mismo exponente: es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de sus bases
  • Cociente de potencias con la misma base: es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la resta de sus exponentes.
  • Cociente de potencias con el mismo exponente: es otra potencia con el mismo exponente y  cuya base es el cociente de sus bases.
  • Potencia de una potencia: es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de sus exponentes.