Resumen de divisibilidad

Múltiplos

Un número a es múltiplo de otro b cuando es el resultado de multiplicarlo por otro número c.

Propiedades

a) Todo número a distinto de 0 es múltiplo de sí mismo y de la unidad.

b) El 0 es múltiplo de todos los números.

c) Todo número distinto de 0 tiene infinitos múltiplos.

d) si a es múltiplo de b, al dividir a entre b la división es exacta.

e) La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

f) La diferencia de dos múltiplos de un número  es otro múltiplo de dicho número.

g) Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero lo es del tercero.

h) Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo.

Divisores

Un número b es divisor de otro a cuando lo divide exactamente.

Propiedades

a) Todo número a distinto de 0 es divisor de sí mismo.

b) El 1 es divisor de todos los números.

c) Todo divisor de un número distinto de 0 es menor o igual a él, por tanto el número de divisores es finito.

d) Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y su diferencia.

e) Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo de éste.

f) Si un número es divisor de otro, y éste a su vez lo es de un tercero, el primero lo es del tercero.

Criterios de divisibilidad

Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta.

  • Por 2: un número es divisible por 2 si termina en 0 o cifra par.
  • Por 3: un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
  • Por 5: un número es divisible por 5 si termina en 0 o 5.
  • Por 7: un número es divisible por 7 si la diferencia entre la suma de sus dígitos sin cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 o múltiplo de 7.
  • Por 11: un número es divisible por 11 si la diferencia entre las cifras impares y las cifras pares es 0 o múltiplo de 11.
  • Otros criterios de divisibilidad:
    • Por 4: un número es divisible por 4 si las dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.
    • Por 6: un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3.
    • Por 8: un número es divisible por 8 si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.
    • Por 9: un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.
    • Por 10: un número es divisible por 10 si termina en 0.
    • Por 25: un número es divisible por 25 si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25.
    • Por 125: un número es divisible por 125 si sus 3 últimas cifras son 0 o múltiplo de 125.

Números primos

Número primo

Un número es primo si sólo tiene 2 divisores: él mismo y la unidad.

Número compuesto

Un número compuesto es aquel que posee más de 2 divisores.

Factorizar

Factorizar o descomponer un número en factores primos es expresar el número como un producto de números primos.

Para factorizar un número efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un 1 como cociente.

Máximo común divisor (mcd)

El máximo común divisor (mcd) de 2 o más números es, como su nombre indica, el máximo número que divide a dichos números, excluido el 0.

Cálculo del mcd

Los pasos a seguir son los siguientes:

  1. Se descompone el número en factores primos.
  2. Se toman los factores comunes con menor exponente.

Mínimo común múltiplo (mcm)

El mínimo común múltiplo (mcm) de 2 o más números es, como su nombre indica, el menor de todos los múltiplos comunes a dichos números.

Cálculo de mcm

Los pasos a seguir son los siguientes:

  1. Descomponemos los números en factores primos.
  2. Se toman todos los factores comunes y no comunes con mayor exponente.

El algoritmo de Euclides

El algoritmo de Euclides es un procedimiento para calcular el mcd de 2 números. Los pasos a seguir son lo siguientes:

  1. Se divide el número mayor entre el menor
  2. Si:
    • La división es exacta, el divisor es el mcd.
    • La división es entera, se divide el divisor entre el resto obtenido y se continúa así hasta obtener una división exacta, siendo éste último el mcd.