Resumen de sistemas de ecuaciones

Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común.

a1x+b1y = c1
a2x+b2y = c2

La solución de un sistema es un par de números x1, y1, tales que reemplazando x por x1 e y por y1, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.

Sistemas equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.

Criterios de equivalencia

  • Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultantes es equivalente.
  • Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.
  • Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al dado.
  • Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

Resolución de sistemas de ecuaciones

1. Método de sustitución

Los pasos que deben seguirse para utilizar este método son los siguientes.

  • Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
  • Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sóla incógnita.
  • Se resuelve la ecuación.
  • El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
  • Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

2. Método de igualación

Los pasos que se deben seguir a la hora de utilizar este método son los siguientes.

  • Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
  • Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
  • Se resuelve la ecuación.
  • El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
  • Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

3. Método de reducción

Los pasos que deben seguirse a la hora de utilizar este método para resolver sistemas de ecuaciones son los siguientes.

  • Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.
  • Las restamos, y debe desaparecer una de las incógnitas.
  • Se resuelve la ecuación resultante.
  • El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.
  • Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Tipos de sistemas

Los tipos de sistemas que podemos encontrar son los siguientes.

1. Sistema compatible determinado

Un sistema es compatible determinado cuando presenta una sóla solución. Gráficamente, la solución es el punto de corte de las dos rectas.

2. Sistema compatible indeterminado

Un sistema es compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones. Gráficamente obtenemos dos rectas coincidentes. Cualquier punto de la recta es solución.

3. Sistema incompatible

Un sistema incompatible es aquel que no tiene solución. Gráficamente obtenemos dos rectas paralelas.