Raíces de un polinomio

Teorema del factor

El polinomio p(x) es divisible por un polinomio de la forma (x – a) sí y sólo p(x = a) = 0.

Raíces de un polinomio

Son los valores que anulan el polinomio

Ejm

Calcular las raíces del polinomio siguiente
p(x) = x2 -5x + 6

p(2) = 22 - 5*2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0
p(3) = 32 - 5*3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0

x = 2 
x = 3
son raíces o ceros del polinomio p(x) = x2 - 5x + 6 ya que p(2) = 0 y p(3) = 0

Propiedades de las raíces y factores de un polinomio

  • Los ceros o raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente del polinomio
  • A  cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x -a).
  • Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios del tipo (x – a), que se corresponde a las raíces, x = a que se obtengan.

Ejm

x2 - 5x + 6 = (x - 2) * (x - 3)
  • La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.
  • Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, o lo que es lo mismo, admite como factor x.

Ejm

x2 + x = x * (x + 1)
Raíces: x = 0, x = 1
  • Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores
p(x) = x2 + x + 1

Cálculo de las raíces y factores de un polinomio

Partimos de los divisores del término independiente, con estos valores aplicamos el teorema del resto y sabremos para que valores la división es exacta.

Ejm

q(x) = x2 - x - 6

Los divisores del término independiente son ±1, ±2 y ±3

q(1) = 12 - 1 - 6 ≠ 0
q(-1) = (-1)2 + 1 - 6 ± 0 
q(2) = 22 - 2 - 12 ≠ 0
q(-2) = (-2)2 + 2 - 6 = 0
q(3) = 32 - 3 - 6 = 0
q(-3) = (-3)2 + 3 - 6 ± 0

Las raíces son x = -2 y x = 3
q(x) = (x + 2) * (x - 3)