Factorización de un polinomio

Sacar factor común

Consiste en aplicar la propiedad distributiva

a * b + a * c + a * d = a * (b +c +d)

Ejm

Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces

a) x3 + x2

x3 + x2 = x2 * (x + 1)
Las raíces son x = 0 y x = -1

b) 2x4 + 4x2 

2x4 + 4x2 = 2x2 * (x2 + 2)
Sólo tiene una raíz x = 0 ya que el polinomio x2 + 2
no tiene ningún valor que lo anule, debido a que al 
estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo,
por tanto es irreducible

c) x2 - ax - bx + ab
x2 - ax - bx + ab = x(x- a) - b(x - a) = (x - a) * (x - b)
Las raíces son x = a y x = b

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia

a2 – b2 = (a + b) * (a – b)

Ejm

Descomponer en factores y hallar las raíces

a) x2 - 4

x2 - 4 = (x + 2) * (x - 2)
Las raíces son x = 2 y x = -2

b) x4 - 16

x4 - 16 = (x2 + 4) * (x2 - 4) = 
= (x + 2) * (x - 2) * (x2 + 4)
Las raíces son x = -2 y x = 2

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado

La fórmula que se utiliza es

  • a2 ±2ab + b2 = (a ± b)2

Ejm

Descomponer en factores y hallar las raíces

9 + 6x + x2 = (3 + x)2
32 2 * 3 * x x2

La raíz es x = -3, y se dice que es una raíz doble.

Trinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado p(x) = ax2 + bx + c, se iguala a cero, y se resuelve la ecuación de segundo grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será

  • ax2 + bx + c = a * (x – x1) * (x – x2)

Ejm

Descomponer en factores y hallar las raíces

x2 - 5x + 6

a) Igualamos el polinomio a cero

x2 - 5x + 6 = 0

x = 5±√52 - 4*1*6 / 2*1 =
= 5±√25 - 24 / 2 =
= 5±1 / 2 = 3 o 2

Por lo tanto 

x2 - 5x + 6 = (x - 3) * (x - 2)

Trinomios de cuarto grado de exponentes pares

Para hallar las raíces se iguala a cero y se resuelve la ecuación bicuadrada

Ejm

Resuelve la siguiente ecuación

x4 - 10x2 + 9

x2 = t

t2 - 10t + 9 = 0

t = 10±√102 - 4*1*9 / 2*1 = 
= 10±√100 - 36 / 2 = 
= 10±√100 - 36 / 2 =
= 10±8 / 2 = 9 o 1

x2 = 9 -> x = √9 = ±3
x2 = 1 -> x = √1 = ±1

Factorización de un polinomio de grado superior a 2

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras. Los pasos a seguir los veremos con el polinomio siguiente

Ejm

p(x) = 2x4 + x3 -8x2 - x + 6

a) Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3
a) Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta

p(1) = 2*14 + 13 -8*12 - 1 + 6 = 0

c) Dividimos por Ruffini

  2  1 -8  -1  6
1    2  3  -5 -6
----------------
  2  3 -5  -6  0

b) Por ser la división exacta, D = d * c

(x - 1) * (2x3 + 3x2 -5x - 6)

Una raíz es x = 1

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor. Volvemos a probar por 1 pq el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

p(1) = 2*13 + 3*12 - 5*1 - 6 = 0

   2  3  -5  -6
-1   -2  -1   6
---------------
   2  1  -6   0

(X - 1) * (X + 1) * (2X2 + X - 6)

Otra raíz es x = -1

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de segundo grado, o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

El 1 lo descartamos y seguimos probando con -1

p(-1) = 2*(-1)2 + (-1) - 6 = 0

   2  1  -6
-2   -4   6
-----------
   2 -3   0

(x – 1) * (x + 1) * ( x + 2) * (2x – 3)

Sacamos factor común en el último binomio y encontramos una raíz racional

2x - 3 = 2(x - 3/2)

La factorización del polinomio queda

p(x) = 2x4 + x3 - 8x2 - x + 6 = 2(x-1)(x+1)(x+2)(x-3/2)

Las raíces son

  • x = 1
  • x = -1
  • x = -2
  • x = 3/2

Raíces racionales

Puede suceder que el polinomio no tenga raíces enteras y sólo tenga raíces racionales. En este caso tomamos los divisores del término independiente dividido entre los divisores del término con mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

Ejm

Calcular p(x) = 12x3 + 8x2 -3x – 2

a) Probamos con ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2/3

p(1/2) = 12(1/2)3 + 8(1/2)2 - 3(1/2) - 2 = 0

    12  8  -3  -2
1/2     6   7   2
-----------------
    12 14   4   0 

(x -1/2)*(12x2+14x+4)

12(1/2)2 + 14(1/2) + 4 ≠ 0

(Probamos con -1/2)

12(-1/2)2 + 14(-1/2) + 4 = 0

     12  14  4
-1/2     -6 -4 
--------------
     12   8  0

(x-1/2)*(x+1/2)*(12x+8)

Sacamos factor común 12 en el tercer factor

12*(x-1/2)*(x+1/2)*(x+2/3)