Resumen de inecuaciones

Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus 2 miembros aparecen ligados por uno de estos signos.

  • <: menor que
  • >: mayor que
  • ≤: menor o igual que
  • ≥: mayor o igual que

Inecuaciones equivalentes

  • Si a los 2 miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.
  • Si a los 2 miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dad.
  • Si a los 2 miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de signo y es equivalente a la dada.

Resolución de inecuaciones de primer grado

Los pasos a seguir para resolver inecuaciones de primer grado son los siguientes.

  • Quitar paréntesis.
  • Quitar denominadores.
  • Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad, y los términos independientes en el otro.
  • Efectuar las operaciones.
  • Como el coeficiente de la x es negativo, multiplicamos por -1, por lo que cambiará el signo de la desigualdad.
  • Despejamos la incógnita, obteniendo la solución como desigualdad, ésta también podemos expresarla
    • En forma gráfica.
    • Como un intervalo.

Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita

Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el conjunto solución del sistema la intersección de los conjuntos soluciones de ambas inecuaciones.

Inecuaciones de segundo grado

Para resolver inecuaciones de segundo grado hemos de seguir los siguientes pasos.

  • Igualamos el polinomio del primer miembro a cero, y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.
  • Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo.
  • La solución está compuesta por los intervalos o el intervalo que tengan el mismo signo que el polinomio.

Si el discriminante es igual a cero

x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0 R
x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0 R-1
x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1
x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0 vacio

Cuando no tiene raíces reales le damos al polinomio cualquier valor si:

  • El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es R.
  • El signo obtenido no coincide con el de la desigualdada, no tiene solución
x2 + x +1 ≥ 0 R
x2 + x +1 > 0 R
x2 + x +1 ≤ 0 vacio
x2 + x +1 < 0 vacio

Inecuaciones racionales

Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.

Para resolver inecuaciones racionales seguimos los siguientes pasos:

  • Hallamos las raíces del numerador y denominador.
  • Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.
  • Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo.
  • La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.

Sistemas de inecuaciones

Inecuaciones lineales con 2 incógnitas

Su solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.

  • Transformamos la desigualdad en igualdad.
  • Damos a una de las 2 variables 2 valores, con lo que obtenemos 2 puntos.
  • Al representar y unir estos puntos, obtenemos una recta.
  • Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.

Sistemas de inecuaciones lineales con 2 incógnitas

La solución a este sistema es la intersección de las regiones que corresponden a la solución de cada ecuación.

Para resolver este tipo de sistemas se siguen los siguientes pasos:

  • Representamos la región solución de la primera ecuación.
  • Representamos la región solución de la segunda ecuación.
  • La solución es la intersección de las regiones soluciones.