Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma

ax2+bx+c = 0 -> con a≠0

Todas las ecuaciones de segundo grado se pueden resolver mediante la siguiente fórmula

-b±√b2-4ac / 2a

Ejm

x2-5x+6 = 0
x = 5±√(-5)2-4*1*6 / 2*1 = 
= 5±√25-24 / 2 

Resolviendo

x = 2
x = 3

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Se dice que una ecuación de segundo grado es incompleta cuando alguno de los coeficientes, b o c, o ambos, son iguales a 0.

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

a) ax2 = 0

La solución es x=0.

b) ax2+bx = 0

Extraemos factor común

x(ax+b) = 0

Como tenemos un producto igualado a 0, o un valor es 0, o el otro factor es 0, o los dos son 0.

Ejm

x2-5x = 0
x(x-5) = 0

x = 0
x-5 = 0
x = 5

c) ax2+c = 0

Los pasos a seguir son los siguientes.

  • En primer lugar pasamos el término c al segundo miembro cambiado de signo.
  • Pasamos el coeficiente al segundo miembro, dividiendo.
  • se efectúa la raíz cuadrada en los dos miembros.

ax2+c = 0

x2 = -c / a

  • x1 = √-c/a
  • x2 = -√-c/a

Ejm

x2-25 = 0
x2 = 25
x1 = 5
x2 = -5

Estudio de las soluciones de la ecuación de segundo grado

Dada una ecuación de segundo grado completa, del tipo

ax2+bx+c = 0

  • b2-4ac se denomina discriminante de la ecuación

El discriminante permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Se pueden distinguir 3 casos:

  • b2-4ac >0: la ecuación tiene 2 soluciones, que son 2 números reales distintos de 0.
  • b2-4ac = 0: la ecuación tiene una solución doble.
  • b2-4ac < 0: la ecuación NO tiene soluciones reales.

Propiedades de las soluciones de la ecuación de segundo grado

a) La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a

x1+x2 = -b/a

b) El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a

x1*x2 = c/a

c) Ecuación de segundo grado a partir de sus soluciones

Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta cómo:

x2-sx+p = 0

siendo s = x1+x2  y p = x1*x2

Ejm

Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son 
3 y -2

x = 3-2 = 1
p = 3*2 = 6

x2-x+6 = 0

Factorización de un trinomio de segundo grado

Dada una ecuación de segundo grado completa

ax2+bx+c = 0

Se puede descomponer en factores de la siguiente forma:

a*(x-x1)*(x-x2) = 0

Ejm

x2-5x+6 = 0
Resolviendo la ecuación nos queda
x=3
x=2

Por lo tanto

(x-2)*(x-3) = 0