Resumen de las ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma

ax2+bx+c = 0

Y se resuelve mediante la siguiente fórmula

x = -b±√b2-4ac / 2a

Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por -1

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

Primer tipo: ax2 = 0

La solución es x=0

Segundo tipo: ax2+bx = 0

Los pasos a seguir para resolver este tipo de ecuaciones de segundo grado incompletas son los siguientes.

  • Extraemos factor común x
  • Igualamos cada factor a 0 y resolvemos las ecuaciones de primer grado

Tendríamos como resultados

  • x=0
  • x=-b/a

Tercer tipo: ax2+c = 0

Los pasos a seguir para resolver este tipo de ecuaciones de segundo grado incompletas son los siguientes.

  • Despejamos
ax2 = -c
x2 = -c/a
x = ±√-c/a

Tendríamos los valores posibles siguientes

  • x = -√-c/a
  • x = +√-c/a

Estudio de las soluciones

ax2+bx+c = 0

x = -b±√b2-4ac (discriminante) / 2*a

b2-4ac se denomina discriminante de la ecuación, y permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Se pueden distinguir 3 casos

  1. b2-4ac > 0: la ecuación tiene 2 ecuaciones, que son números reales distintos.
  2. b2-4ac = 0: la ecuación tiene una solución doble.
  3. b2-4ac < 0: la ecuación no tiene soluciones reales.

Propiedades de las soluciones

a) La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a

x1+x2 = -b/a

b) El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a

x1*x2 = c/a

Ecuación de segundo grado a partir de sus soluciones

Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta como

x2-sx+p = 0

Siendo s = x1+x2 y  p = x1*x2

Factorización de un trinomio de segundo grado

ax2+bx+c = 0
a*(x-x1)*(x-x2) = 0

Ecuaciones racionales

Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen fracciones polinómicas. Para resolverlas se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mcm (mínimo común múltiplo) de los denominadores.

Debemos comprobar las soluciones para rechazar las posibles soluciones extrañas provenientes de la ecuación transformada (la resultante de multiplicar por el mcm), pero que no lo son de la ecuación original.

Ecuaciones bicuadradas

Son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar. Del tipo

ax4+bx2+c = 0

Para resolverlas, efectuamos el cambio x2=t, x4=t2, con lo que generamos una ecuación de segundo grado con la incógnita t.

at2+bt+c = 0

Por cada valor positivo de t habrá 2 valores de x.

x = ±√t

Ecuaciones irracionales

Las ecuaciones irracionales son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical.

Resolución de ecuaciones irracionales

Los pasos a seguir son los siguientes

  • Se aisla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales.
  • Se elevan al cuadrado los dos miembros.
  • Se resuelve la ecuación obtenida.
  • Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada, y además, las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.
  • Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos.

Ecuaciones de grado superior a 2

Una ecuación de grado superior a 2 es una ecuación de cualquier grado, escrita de la forma p(x) = 0, el polinomio p(x) se puede descomponer en factores de primer y segundo grado, entonces basta igualar a cero cada uno de los factores, y resolver las ecuaciones de primer y segundo grado resultantes.

Se utiliza el teorema del resto y la regla de Ruffini.

Sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas

Método de Gauss

Este método consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

Los pasos a seguir son:

  • Ponemos como primera ecuación la que tenga el coeficiente en x más bajo.
  • Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación.
E'2 = E2-3E1
  • Hacemos lo mismo con la 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x
E'3 = E3-5E1
  • Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, transformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.
E''3 = E'3-2E'2
  • Obtenemos el sistema equivalente escalonado.
  • Encontrar las soluciones

Sistemas de ecuaciones no lineales

Un sistema de ecuaciones es no lineal cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado.

La resolución de estos sistemas suele hacerse utilizando el método de sustitución, para ello han de seguirse los pasos siguientes:

  • Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.
  • Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.
  • Se resuelve la ecuación resultante.
  • Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.