Sistemas de ecuaciones logarítmicas

Para resolver sistemas de ecuaciones logarítmicas vamos a actuar de modo similar a como lo hemos hecho a la hora de resolver ecuaciones logarítmicas, es decir, basándonos en la definición y las propiedades de los logaritmos, y teniendo en cuenta que la función logarítmica es inyectiva.

Veamos 2 casos de resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas.

Caso 1

x2-y2 = 11
logx-logy = 1

En la segunda ecuación aplicamos la propiedad del cociente de un logaritmo, en el primer miembro, y en el segundo tenemos en cuenta que el logaritmo decimal de 10 es 1.

log(x/y) = log10

Resolvemos el sistema por sustitución, y al final comprobamos las soluciones, un sólo par de soluciones serán válidas.

x/y = 10 -> x = 10y
100y2-y2 = 11
y2 = 11/99 = 1/9

y=1/3 - y=-1/3 - x=10/3

Caso 2

Algunos sistemas se pueden resolver directamente por el método de reducción.

logx+logy = 3
logx-logy = 1
-------------
2logx = 4

logx=2 -> x=102 -> x=100

2+logy = 3
logy = 1 -> y=101 -> y=10