Logaritmos

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

logax = y -> ay = x  --  a>0 y a≠1

Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.

Ejm

log24 = 2 -> 22 = 4
log21 = 0 -> 20 = 1

Más ejm

log1/20.25 = y
(1/2)y = 0.25
(1/2)y = (1/2)2
y=2

Logaritmos decimales y neperianos

Logaritmos decimales

Los logaritmos decimales tienen base 10, se representan por log(x)

Logaritmos neperianos

Los logaritmos neperianos tienen base e, se representan por ln(x) o L(x)

Propiedades de los logaritmos

El logaritmo se define como

logax = y -> ay = x  --  a>0 y a≠1

De la definición de logaritmo podemos definir

No ∃log-ax
  • No existe el logaritmo de un número negativo
No ∃loga(-x)
  • No existe el logaritmo de 0
No ∃loga0
  • El logaritmo de 1 es 0
loga1 = 0
  • El logaritmo en base a de a es 1
logaa = 1
  • El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente
logaan = n

Propiedades de los logaritmos

a) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

loga(x*y) = logax + logay

Ejm

log2(4*8) = log24 + log28 = 2+3 = 5

b) El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor

loga(x/y) = logax - logay

Ejm

log2(8/4) = log28 - log24 = 3-2 = 1

c) El logaritmo de una potencia es igual el producto del exponente por el logaritmo de la base

loga(xn) = nlogax

Ejm

log2(84) = 4loga8 = 4*3 = 12

d) El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz

loga(n√x) = 1/n*logax

Ejm

log2(4√8) = 1/4*log28 = 1/4*3 = 3/4

e) Cambio de base

logax = logbx / logba

Ejm

log24 = log44 / log42 = 1/1/2 = 2