Ecuaciones exponenciales

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.

Para resolver una ecuación exponencial hemos de tener en cuenta

  1.  a>0  y a≠1
  2. ax1 = ax2 -> x1=x2
  3. Las propiedades de las potencias
    • a0 = 1
    • a1 = a
    • a-n = 1/an
    • am/n = n√am
    • am*an = am+n
    • am:an = am-n
    • (am)n = am*n
    • an*bn = (a*b)n
    • an:bn = (a/b)n

Resolución de ecuaciones exponenciales

Caso 1.

Realizar las operaciones necesarias para que en los miembros tengamos la misma base, de modo que podamos ingualar exponentes.

ax1 = ax2 -> x1=x2

Ejm

2x-1 = 4
2x-1 = 22
2x-1 = 2
x=3/2

Caso 2.

Si tenemos la suma de los n términos de una progresión geométrica, aplicamos la fórmula.

sn = an*r-a1 / r-1

Ejm

1+2+4+8+...+2x = 1023

2x*2-1 / 2-1 = 1023
2x*2 = 1024
2x = 29
x = 9

Caso 3.

Cuando tenemos una ecuación más compleja podemos recurrir a un cambio de variable.

Ejm

22x+1-3*2x+1 = 0

a) Lo primero que hacemos es aplicar las propiedades de las potencias del producto o del cociente, para quitar las sumas o restas de los exponentes.

2*2x-3*2x+1 = 0

b) Lo siguiente es realizar el cambio de variable

2x = t
22x = (2x)2 = t

c) Resolvemos la ecuación y deshacemos el cambio de variable

2t2-3t+1 = 0

t1 = 1/2
t2 = 1

2x = 1/2
2x = 1

x1 = -1
x2 = 0

Caso 4.

Para despejar una incógnita que está en el exponente de una potencia, se toman logaritmos cuya base es la base de la potencia.

ax = b

logaax = logab -> xlogaa = logab -> x = logab

Ejm

10x+2 = 5
log10x+2 = log5
(x+2)log10 = log5
(x+2) = log5

x = log5-2 = -1.3010