Teorema de Rouché

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada sean iguales.

  • r = r’: el sistema es compatible.
    • r = r’ = n: el sistema es compatible determinado.
    • r = r’ ≠ n: el sistema es compatible indeterminado.
  • r ≠ r’: el sistema es incompatible.

Ejm

2x-y-2z = -2
-x+y+z = 0
x-2y+z = 8
2x-2y = 6

A) Tomamos la matriz de los coeficientes y le hallamos el rango.

Ejm Teorema Rouché

Ejm Teorema Rouché 2

  • r(A) = 3

B) Hallamos el rango de la matriz ampliada.

Ejm Teorema Rouché 3

Ejm Teorema Rouché 4

  • r(A’) = 3

C) Aplicamos el teorema de Rouché

  • r(A) = 3
  • r(A’) = 3
  • n = 3

El sistema es compatible determinado.

D) Como el sistema es compatible determinado podemos resolverlo, bien por la regla de Cramer o bien por el método de Gauss.

Tomamos el sistema que corresponde a la submatriz de orden 3 que tiene rango 3, y lo resolvemos, en este caso lo vamos a realizar por la regla de Cramer.

2x-y-2z = -2
-x+y+z = 0
x-2y+z = 8

Ejm Teorema Rouché 5