Sistemas homogéneos

Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es un sistema homogéneo.

Sólo admite la solución trivial x1 = x2 = x3 = … = xn = 0

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el número de incógnitas, o dicho de otra manera, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.

r < n

Observar que ésto se debe a que:

  • De este modo estamos en el caso del teorema de Rouche en el que r(A)=r(A’), y su valor es menor al número de incógnitas, siendo de esta manera el sistema compatible indeterminado.

Ejm

x+y+z = 0
x-y = 0
x+3y+2z = 0

Ejm sistemas homogéneos

  • r =2
  • n = 3

El sistema es compatible indeterminado