Resumen de sistemas de ecuaciones

Regla de Cramer

Un sistema de Cramer es un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, tal que el determinante de la matriz de coeficientes sea distinta de cero.

Regla de Cramer

Sea ∧ el determinante de la matriz de coeficientes

Determinante de la matriz de coeficientes

Y sean

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los determinantes que se obtienen al sustituir los coeficientes del segundo miembro (los términos independientes) en la primera columna, en la segunda, tercera… respectivamente.

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Teorema de Rouché-Fröbenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada sean iguales.

  • r = r’ (Sistema compatible)
    • r = r’ = n (Sistema compatible determinado)
    • r = r’ ≠ n (Sistema compatible indeterminado)
  • r ≠ r’ (Sistema incompatible)

Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos, se dice que es homogéneo.

Sólo admite la solución trivial x1 = x2 = x3… = xn = 0

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el del número de incógnitas, o dicho de otra manera, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.

Sistemas homogéneos

Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tienen todos los términos independientes nulos, se dice que es homogéneo.

Sólo admite la solución trivial x1 = x2 = x3… = xn = 0

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.