Resumen de sistemas de ecuaciones

Ecuación lineal con n incógnitas

Cualquier expresión del tipo a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn = b, donde ai, b ∈ R. Los valores ai se denominan coeficientes, b es el término independiente, y los valores xi se denominan incógnitas.

Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina solución de la ecuación.

Ejm

Dada la ecuación

x+y+z+t = 0, son solución de ella (1,-1,1,-1), (2,-2,0,4).

Ecuaciones equivalentes

Ecuaciones equivalentes son aquellas que tienen la misma solución.

Sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
--------------------------------
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
  • xi son las incógnitas, (i = 1, 2, 3,… n).
  • aij son los coeficientes (i = 1, 2, 3, … m) (j = 1, 2, 3, … n)
  • bi son los términos independientes (i = 1, 2, 3, … m)
  • m, n ∈ N -> m>n, o m=n, o m<n
  • Observar que el número de ecuaciones no tiene porque ser igual al número de incógnitas
  • aij y bi ∈ N
  • Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t…
  • Cuando bi=0 para todo i, el sistema de llama homogéneo.

Solución de un sistema

Se denomina solución de un sistema a cada conjunto de valores que satisface a todas las ecuaciones.

Clasificación de sistemas

Atendiendo al número de sus soluciones, los sistemas se clasifican en:

  • Incompatible: son sistemas que no tienen solución.
  • Compatible: son sistemas que tienen solución, a su vez pueden ser
    • Compatible determinado: tiene una solución única
    •  Compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones

Sistemas escalonados

Los sistemas escalonados son aquellos en que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.

Sistemas equivalentes

Son sistemas equivalentes aquellos que tienen la misma solución, aunque tengan distinto número de ecuaciones. Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes si:

  • Todos los coeficientes son cero.
  • Dos filas son iguales.
  • Una fila es proporcional a otra.
  • Una fila es combinación lineal de otras.

Transformaciones

Se pueden realizar las siguientes transformaciones:

  • Cambiar el orden de las ecuaciones del sistema.
  • Cambiar el orden de las incógnitas de la ecuación.
  • Multiplicar los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.
  • Sustituir una ecuación del sistema por una combinación lineal de ella y de las restantes siempre que el coeficiente de la ecuación sustituida sea distinto de cero.

Método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste último sea escalonado. Para facilitar el cálculo transformamos el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).

Método de Gauss (Resumen)

Método de Gauss (Resumen) 2

Discusión de sistemas

Discutir un sistema es determinar si tiene solución, y, en caso de tenerla, saber si ésta es única. Es decir, determinar si es compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.

Resolución de problemas

Los pasos a seguir para resolver problemas son los siguientes:

  • Leer y comprender el enunciado.
  • Anotar los datos utilizando: esquemas, dibujos, diagrama de árbol…
  • Elegir una notación que nos permita relacionar las distintas variables.
  • Plantear y resolver el problema.
  • Comprobar la solución.