Resumen de matrices

Concepto de matriz

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y columna a la que pertenece.

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz.

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.

2 matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

Tipos de matrices

Estos son los tipos de matrices que podemos encontrar.

  • Matriz fila: es una matriz constituida por una sóla fila.
  • Matriz columna: es una matriz con una sóla columna.
  • Matriz rectangular: es aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
  • Matriz cuadrada: es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, los elementos de la forma aij constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
  • Matriz nula: es aquella en la cual todos los elementos son nulos.
  • Matriz triangular superior: es aquella cuyos elementos situados por debajo de la diagonal principal son 0.
  • Matriz triangular inferior: es aquella cuyos elementos situados por encima de la diagonal principal son 0.
  • Matriz diagonal: es aquella en la cual todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
  • Matriz escalar: es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
  • Matriz identidad o unidad: es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
  • Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Las propiedades de la matriz traspuesta son las siguientes:
    • (At)t = A
    • (A + B)t = At + Bt
    • (α * A)t = α * At
    • (A * B)t = Bt * At
  • Matriz regular: es aquella matriz cuadrada que tiene inversa.
  • Matriz singular: es aquella matriz que no tiene inversa.
  • Matriz idempotente: es aquella que cumple que A2 = A.
  • Matriz involutiva: es aquella que cumple que A2 = I
  • Matriz simétrica: es aquella matriz cuadrada que verifica que A = At
  • Matriz antisimétrica o hemisimétrica: es aquella matriz cuadrada que cumple que A = -At
  • Matriz ortogonal: es aquella que tiene que verificar que A * At = I

Suma de matrices

Dadas 2 matrices de la misma dimensión,  A = (aij), y B = (bij), se define la matriz suma como A + B = (aij) + (bij), es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen sumando los elementos de las 2 matrices que ocupan la misma posición

Propiedades

Las propiedades de la suma de matrices son las siguientes:

  • Interna
  • Asociativa
  • Elemento neutro
  • Elemento opuesto
  • Conmutativa

Producto de un número real por una matriz

Dada la matriz A = (aij), y un número real k R, se define el producto de un número real por una matriz como a la matriz del mismo orden de A, en la que cada elemento está multiplicado por k.

k * A = k * (aij)

Propiedades

Sus propiedades son las siguientes:

  • a * (b * A) = (a * b) * A
  • a * (A + B) = a * A + a * B
  • (a + b) * A = a * A + b * A
  • 1 * A = A

Producto de matrices

2 matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

Mmxn * Mnxp = Mmxp

El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades

Las propiedades del producto de matrices son las siguientes:

  • Asociativa: A * (B * C) = (A * B) * C
  • Elemento neutro: A * I = A
  • No es conmutativa: A * B ≠ B * A
  • Distributiva del producto respecto de la suma: A * (B + C) = A * B + A * C

Matriz inversa

A * A-1 = A-1 * A = I

Propiedades

Las propiedades de la matriz inversa son las siguientes:

  • (A * B)-1 = B-1 * A-1
  • (A-1) -1 = A
  • (k * A-1) k-1 * A-1
  • (At)-1 = (A-1)t

Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, vamos a seguir los siguientes pasos:

a) Construir una matriz del tipo M = (A | I), ésto es, A está en la mitad de la izquierda de M, y la matriz identidad I en la derecha.

b) Utilizando el método de Gauss, se transforma la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora se encuentra a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa de A.

Rango de una matriz

El rango de una matriz es el número de lineas de esa matriz (filas y columnas) que son linealmente independientes.

Una linea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando NO se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

El rango de una matriz A se denomina rang(A) o r(A).

Cálculo por el método de Gauss

Se puede descartar una linea si:

  • Todos los coeficientes son cero.
  • hay 2 lineas iguales.
  • Una linea es proporcional a otra.
  • Una linea es combinación lineal de otra.