Matriz inversa

Si premultiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o posmultiplicamos (multiplicamos por la derecha) una matriz cuadrada por su inversa, obtenemos la matriz identidad.

A * A-1 = A-1 * A = I

Propiedades

Las propiedades de la matriz inversa son:

  • (A * B)-1 = B-1 * A-1
  • (A-1)-1 = A
  • (k * A)-1 = k-1 * A-1
  • (At)-1 = (A-1)t

Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguimos los siguientes pasos:

A) Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M, y la matriz identidad en la derecha

Ejm

Consideremos una matriz 3×3 arbitraria

Cálculo por el método de Gauss 1

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3

Cálculo por el método de Gauss 2

B) Utilizando el método de Gauss transformamos la matriz izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa A-1.

  • F2 = F2 – F1

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss

  • F3 = F3 + F2

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss 2

  • F2 = F2 – F3

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss 3

  • F1 = F1 + F2

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss 4

  • F2 = (-1)F2

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss 5

La matriz inversa es

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss 6