Resumen determinantes

Definición de determinante

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det(A).

Determinante de orden 1

Son del tipo:

|A11| = a11

Determinante de orden 2

Son del tipo:

Determinante de orden 2

Determinante de orden 3

Son del tipo:

Determinante de orden 3

Regla de Sarrus

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Cálculo de determinantes de orden 3 mediante la regla de Sarrus

Los términos con signo – están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Cálculo de determinantes de orden 3 mediante la regla de Sarrus 2

Menor complementario

Se denomina menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j.

Adjunto

Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo:

  • El signo es + si i+j es par.
  • El signo es – si i+j es impar.

El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una linea por los adjuntos correspondientes.

Determinante de orden superior a 3

Consiste en conseguir que una de las lineas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote que valdrá 1 o -1.

Los pasos a seguir son los siguientes:

  • Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos lineas: la fila o la columna, que contiene a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).
  • En caso negativo
    • Nos fijaremos en una linea que contenga el mayor número posible de elementos nulos, y operaremos para que uno de los elementos de esa linea sea 1 o -1 (operando con alguna linea paralela).
    • Dividiendo la linea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varíe, es decir, sacamos factor común en una linea de uno de sus elementos.
    • Tomando como referencia el elemento base, operamos de modo que todos los elementos de una fila o columna donde se encuentre, sean ceros.
    • Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.

Propiedades de los determinantes

  • |At| = |A|
  • |A| = 0 si
    • Posee 2 lineas iguales.
    • Todos los elementos de una linea son nulos.
    • Los elementos de una linea son combinación lineal de las otras.
  • Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de al diagonal principal.
  • Si en un determinante se cambian entre sí 2 lineas paralelas, su determinante cambia de signo.
  • Si a los elementos de una linea se le suman los elementos de otra multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.
  • Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier linea, pero sólo una.
  • Si todos los elementos de una fila o columna están formados por sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de 2 determinantes.
  • |A * B| = |A| * |B|

Matriz inversa

A-1 = 1 / |A| * |A*|t

Rango de una matriz

El rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.