Proceso de Bernoulli

Un proceso de Bernoulli es la repetición de un ensayo de Bernoulli. Por ejemplo de una moneda estaremos estudiando cuántas veces sale «cara» o cuántas veces sale «cruz», o la probabilidad de que salga «cara», al menos una vez, de un número n de intentos. Es importante que se cumpla que:

  1. La probabilidad de éxito permanece constante ensayo tras ensayo.
  2. Los ensayos deben de ser independientes entre sí.

Los procesos de Bernoulli son un caso concreto de proceso estocástico de tiempo discreto. Según el problema que nos planteemos sobre el resultado de un proceso de Bernoulli pueden surgir distintas distribuciones asociadas:

  • Si nos preguntamos sobre la probabilidad de obtener r éxitos en n ensayos, la probabilidad de que suceda en un ensayo es p, corresponde la llamada distribución binomial:
n ! r ! ( n r ) ! p r ( 1 p ) n r {\displaystyle {\frac {n!}{r!(n-r)!}}p^{r}(1-p)^{n-r}}
  • Si queremos saber la probabilidad de necesitar exactamente n ensayos para obtener r éxitos, debemos usar la distribución binomial negativa o la distribución de Pascal:
( n 1 ) ! ( r 1 ) ! ( n r ) ! p r ( 1 p ) n r {\displaystyle {\frac {(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}}p^{r}(1-p)^{n-r}}

La distribución de Pascal es un caso particular de la distribución binomial negativa que requiere que los valores de n y r sean enteros, mientras que en la distribución binomial negativa r puede ser real mayor que cero y n-r entero no negativo (la fórmula que figura más arriba corresponde a la distribución de Pascal).

Cuando r=1 se obtiene la distribución geométrica.

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