Problemas de Hilbert

Los problemas de Hilbert conforman una lista de 23 problemas matemáticos compilada por el matemático alemán David Hilbert para la conferencia en París del Congreso Internacional de Matemáticos de 1900. Los problemas estaban todos por resolver en aquel momento, y varios resultarían ser muy influyentes en la matemática del siglo XX. Hilbert presentó diez de los problemas (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 y 22) en la conferencia, en un acto el 8 de agosto en La Sorbona. La lista completa se publicó más adelante.

Naturaleza e influencia de los problemas

Aunque se han producido intentos de repetir el éxito de la lista de Hilbert, ningún otro conjunto tan variado de problemas o conjeturas ha tenido un efecto comparable en el desarrollo del tema y obtenido una fracción importante de su celebridad. Por ejemplo, las conjeturas de André Weil son famosas pero fueron poco publicitadas. Quizá su propio temperamento evitó que él intentase ponerse en posición de competir con Hilbert. John von Neumann produjo una lista, pero no obtuvo reconocimiento universal.

A primera vista, este éxito podría atribuirse a la eminencia del autor de los problemas. Hilbert estaba en la cúspide de su poder y reputación en aquel momento y continuó dirigiendo la sobresaliente escuela de matemática en la Universidad de Göttingen. Un examen más cuidadoso revela que el asunto no es tan simple.

La matemática de aquel tiempo era aún discursiva: la tendencia a sustituir palabras por símbolos y apelaciones a la intuición y conceptos mediante axiomática pura seguía subyugada, aunque se volvería fuerte durante la siguiente generación. En 1900, Hilbert no pudo acudir a la teoría axiomática de conjuntos, la integral de Lebesgue, los espacios topológicos o la tesis de Church, que cambiarían sus respectivos campos de forma permanente. El análisis funcional, fundado en cierto modo por el propio Hilbert como noción central de los testigos del espacio de Hilbert, no se había diferenciado aún del cálculo de variaciones; hay en la lista de problemas de matemática variacional, pero nada, como podría asumirse inocentemente, sobre teoría espectral (el problema 19 tiene una conexión con la hipoelipticidad).

La lista no fue predictiva en ese sentido: no consiguió plasmar o anticipar el fulgurante ascenso que experimentarían la topología, la teoría de grupos y la teoría de la medida en el siglo XX, así como no previó la manera en que iba a avanzar la lógica matemática. Por tanto, su valor documental es el de ensayo, una visión parcial, personal. Sugiere algunos programas de investigación y algunas direcciones por seguir sin fin concreto.

De hecho, muchas de las preguntas daban una falsa idea del matemático profesional del siglo XIX, o incluso de 1950, en que la forma de una solución a una buena pregunta tomaría la forma de un artículo publicado en una publicación matemática. Si este fuera el caso de todos los veintitrés problemas, se habría simplificado el comentario hasta el punto de poder dar una referencia a una revista, o considera la pregunta como abierta todavía. En algunos casos el lenguaje usado por Hilbert se sigue considerando un tanto «negociable», en cuanto al significado real de la formulación del problema (en ausencia, repetimos, de fundamentos axiomáticos, basados en matemática pura, empezando con el propio trabajo de Hilbert sobre geometría euclidiana, pasando por el Principia Mathematica, y terminando con el grupo Bourbaki y el «terrorismo intelectual» para terminar el trabajo). Los problemas Primero y Quinto se encuentran, quizá sorprendentemente, en un estado de formulación de una claridad menos que total. En casos como el Vigésimo, el problema se podría leer de forma razonable en una versión «interna», relativamente accesible, en la que el lector puede saber a qué estaba apuntando Hilbert, o como una penumbra «externa» y especulativa.

Dicho todo esto, por tanto, la razón más importante es la gran rapidez con la que aceptó la lista de Hilbert la comunidad matemática de aquel momento (lo cual es una fórmula menos convencional que ahora, ya que por entonces había pocos líderes investigadores, que generalmente se encontraban en unos pocos países europeos y se conocían todos entre ellos). Los problemas se estudiaron con gran atención, resolver uno labró reputaciones.

El estilo fue al menos tan influyente como el contenido de los problemas. Hilbert solicitaba clarificaciones. Pidió soluciones en principio a preguntas algorítmicas, no a algoritmos prácticos. Pidió un fortalecimiento de los cimientos de partes de la matemática que a los no practicantes aún se antojaban guiadas por intuiciones opacas (el cálculo de Schubert y la geometría enumerativa).

Resumen

De los problemas de Hilbert claramente formulados, los problemas 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19 y 20 tienen una solución aceptada por consenso. Por otro lado, los problemas 1, 2, 5, 9, 15, 18*, 21 y 22 tienen soluciones de aceptación parcial, pero existe cierta controversia al respecto de si la solución resuelve realmente el problema.

En el 18 indica que la solución a la ecuación de Kepler es una demostración asistida por computadora, una noción anacrónica para un problema de Hilbert y controvertida hasta cierto punto debido a que un lector humano no puede verificarla en tiempo razonable.

Esto deja sin resolver el 8 (la hipótesis de Riemann) y el 12, ambos dentro de la teoría de números. En esta clasificación los 4, 6 y 16 son demasiado vagos como para que algún día se les pueda declarar resueltos. El problema 24 retirado también caería en esta clase.

Información tabulada

ProblemaExplicación concisaEstado del problema
1.erLa hipótesis del continuo (esto es, no existe conjunto cuyo tamaño esté estrictamente entre el de los racionales y el de los números reales).Se ha probado la imposibilidad de probarlo como cierto o falso mediante los axiomas de Zermelo-Fraenkel. No hay consenso al respecto de considerar esto como solución al problema.​
Probar que los axiomas de la aritmética son consistentes (esto es, que la aritmética es un sistema formal que no supone una contradicción).Parcialmente resuelto: hay quienes sostienen que se ha demostrado imposible de establecer en un sistema consistente, finitista y axiomático,​ sin embargo, Gentzen probó en 1936 que la consistencia de la aritmética se deriva del buen fundamento del ordinal

ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}}

, un hecho sujeto a la intuición combinatoria.

3.erDados dos poliedros de igual volumen, ¿es siempre posible cortar el primero en una cantidad finita de piezas poliédricas que puedan ser ensambladas de modo que quede armado el segundo?Resuelto. Resultado: no, probado usando invariantes de Dehn.
Construir todas las métricas cuyas rectas sean geodésicas.Demasiado vago para decidir si se ha resuelto o no.
¿Son los grupos continuos grupos diferenciales de forma automática?Resuelto por Andrew Gleason (1952).
Axiomatizar toda la física.
  • La mecánica clásica: Hamel (1903).
  • La termodinámica: Carathéodory (1909).
  • La relatividad especial: Robb (1914) y Caratheodory (1924) independientemente.
  • La teoría de probabilidades: Kolmogórov (1930).
  • La teoría cuántica de campos: Wightman a finales de los años 1950.
¿Es a b trascendental, siendo a ≠ 0,1 algebraico y b irracional algebraico?Resuelto. Resultado: sí, ilustrado por el teorema de Gelfond o el teorema de Gelfond-Schneider.
La hipótesis de Riemann (la parte real de cualquier cero no trivial de la función zeta de Riemann es ½) y la conjetura de Goldbach (cada número par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos números primos).Sin resolver.
Encontrar la ley más general del teorema de reciprocidad en cualquier cuerpo numérico algebraico.Parcialmente resuelto.
10ºEncontrar un algoritmo que determine si una ecuación diofántica polinómica dada con coeficientes enteros tiene solución entera.Resuelto. Resultado: no, el teorema de Matiyasevich (1970) implica que no existe tal algoritmo.
11ºResolver las formas cuadráticas con coeficientes numéricos algebraicos.Parcialmente resuelto:

  • Sobre los números racionales: Hasse (1923-1924).
  • Sobre los números enteros: Siegel en los años 1930.
12ºExtender el teorema de Kronecker-Weber sobre extensiones abelianas de los números racionales a cualquier cuerpo numérico de base.Sin resolver.
13ºResolver todas las ecuaciones de 7º grado usando funciones de dos parámetros.Resuelto negativamente por Vladímir Arnold y Andréi Kolmogórov en 1957.
14ºProbar la finitud de ciertos sistemas completos de funciones.Resuelto. Resultado: no, en general, debido a un contraejemplo, Nagata (1962).
15ºFundamento riguroso del cálculo enumerativo de Schubert.Parcialmente resuelto, Van der Waerden a finales de los años 1930.
16ºTopología de las curvas y superficies algebraicas.Sin resolver.
17ºExpresión de una función definida racional como cociente de sumas de cuadrados.Resuelto. Resultado: se estableció un límite superior para el número de términos cuadrados necesarios, Pfister (1967). La solución negativa en general se debe a Du Bois (1967).
18º¿Existe un poliedro irregular y que construya otros poliedros? ¿Cual es el apilamiento compacto más denso?Resuelto.
19º¿Son siempre analíticas las soluciones de los Lagrangianos?Resuelto por Bernstein (1904). Resultado: sí.
20º¿Tienen solución todos los problemas variacionales con ciertas condiciones de contorno?Resuelto. Ha supuesto un área importante de investigación durante el siglo XX, culminando con las soluciones al caso no lineal.
21.erProbar la existencia de ecuaciones lineales diferenciales que tengan un grupo monodrómico prescrito.Resuelto. Resultado: sí o no, dependiendo de una formulación más exacta del problema. Según Gray resuelto de forma negativa por Anosov y Bolibruch (1994).
22ºUniformización de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas.Resuelto por Koebe (1907) y Poincaré independientemente (1907).
23.erExtensión de los métodos del cálculo de variaciones.Sin resolver

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